Transformée de Laplace: intégrale vs pôles et zéros

Nov 22 2020

Si la transformée de Laplace est exprimée par:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt $$

avec :

$$s = \sigma + j\omega$$

et $h(t)$ une réponse impulsionnelle exprimée comme:

$$h(t) = Ae^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t+\phi) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$$ ($A=1$ et $\phi = 0$ pour simplifier, $h(t)=0$ si $t<0$)

Ensuite, chaque ligne verticale (parallèle à l'axe imaginaire) dans le $s$ plan correspond à la transformée de Fourier de $f(t) = h(t)e^{-\sigma t}$ pour un fixe $\sigma$.

Pour $\sigma = -\sigma_0$, l'exponentielle décroissante de $h(t)$ est annulée et on obtient la transformée de Fourier * de $h(t) = \cos(\omega_0t)$, c'est-à-dire: diracs à $\omega_0$ et $-\omega_0$ (pas précis, voir (*) juste en dessous), d'où deux pôles: $-\sigma_0 + j\omega_0$ et $-\sigma_0 - j\omega_0$ comme sur l'image suivante (illustration uniquement, les pôles ne sont pas correctement positionnés):

En effet, on peut comprendre que:

(*) Veuillez noter que ce qui suit n'est pas exact: depuis $h(t) = 0$ si $t<0$, nous devrions utiliser la transformée unilatérale de Laplace, pas bilatérale! Nous obtiendrions donc ici la transformée de Fourier unilatérale d'une sinusoïde, pas la transformée bilatérale (avec des diracs uniquement)! Pour voir ce que cela serait, veuillez consulter le lien donné à la fin de la réponse acceptée

$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-j\omega t}dt $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}e^{-j\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0-\omega)t}-e^{-j(\omega_0+\omega)t}dt$$

Si $\omega = \omega_0$ ou $-\omega_0$, alors l'intégrale exploserait en raison du $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^0dt $$ membre, d'où les pôles dans le plan s.

Ainsi, comme le montre le chapitre 32, p.24 du Guide du scientifique et de l'ingénieur sur le DSP (voir les figures ci-dessous), avec la transformation de Laplace, nous multiplions$h(t)$ avec $e^{-st}$ = $e^{-\sigma}e^{-j\omega}$, c'est que nous multiplions $h(t)$ avec des sinusoïdes qui sont soit:

  • (a) Décomposition exponentielle ($\sigma$ > 0)
  • (b) Stable ($\sigma = 0$)
  • (c) Croissance exponentielle plus lente que notre décroissance de réponse impulsionnelle ($ -\sigma_0 < \sigma < 0$)
  • (d) Croissance exponentielle, compensant la décroissance de notre réponse impulsionnelle ($\sigma = -\sigma_0$): OK, comme étudié ci-dessus.
  • (e) Croissance exponentielle plus rapide ($\sigma < - \sigma_0$ et $\sigma < 0$)

(les lettres correspondent à des paires de points dans le plan s illustrées dans les figures ci-dessous, toujours à un $\omega$ ou $-\omega$ valeur)

Je comprends le cas d: puisque nous annulons la partie exponentielle, nous n'obtenons que la transformée de Fourier (unilatérale !!) d'une sinusoïde. C'est-à-dire: infini à$\omega_0$ et $-\omega_0$ d'où les pôles (même si je ne sais pas pourquoi nous avons une fonction continue d'oméga avec des valeurs infinies à $\omega_0$ et $-\omega_0$au lieu de diracs comme dans la transformée de Fourier originale d'une sinusoïde -> Parce que nous utilisons Laplace unilatérale d'où Fourier, voir fin de réponse acceptée! ).

Les cas a, c et e sont intuitifs. Dans le cas a, on multiplie$h(t)$avec une exponentielle décroissante. L'intégrale sera une valeur complexe finie (pour toutes les valeurs de$\sigma > 0$. Dans le cas c, nous multiplions par une exponentielle croissant plus lentement que l'exponentielle décroissante de$h(t)$, d'où une valeur complexe finie pour l'intégrale (pour toutes les valeurs de $-\sigma_0 < \sigma < 0$). Dans le cas e, on multiplie le$h(t)$ par une exponentielle qui croît plus vite que l'exponentielle de $h(t)$ désintégrations: donc l'intégrale ne converge pas (pour toutes les valeurs de $\sigma < -\sigma_0$).

Mais pour le cas b, je ne peux pas comprendre pourquoi l'intégrale serait zéro comme indiqué avec l'aire sous la courbe (rouge dans les figures ci-dessus)? En d'autres termes, je comprends la ligne verticale dans le plan s à$\sigma = -\sigma_0$, c'est la transformée de Fourier de $h(t)e^{-\sigma_0 t}$ c'est donc la transformée de Fourier de $h(t)$une fois sa composante exponentielle supprimée, donc 2 pôles dus à la sinusoïde. Nous obtenons des poteaux à chaque fois$e^{-st}$est identique (compense) à la réponse impulsionnelle. Mais qu'est-ce qui provoquerait la transformée de Fourier de$h(t)e^{-\sigma t}$ être 0 à certains $\omega$? Pour qui$h(t)$ et comment cela aurait-il un impact sur l'aire sous la courbe (intégrale)?

Réponses

2 MattL. Nov 22 2020 at 02:34

La définition de la transformation de Laplace que vous utilisez s'appelle la transformation de Laplace bilatérale , qui est moins courante que la transformation unilatérale de Laplace. La différence entre les deux est que le premier a une limite d'intégration inférieure de$-\infty$ alors que le second a une limite inférieure de $0$. Cette différence devient sans importance si le signal considéré est nul pour$t<0$. C'est le cas dans l'exemple du livre. Notez cependant que la transformée de Laplace bilatérale de la réponse impulsionnelle$h(t)$ que vous avez défini dans votre question n'existe pour aucune valeur de $s$. Il existe si vous définissez$h(t)$ à zéro pour $t<0$ (c'est-à-dire multipliez-le par un pas d'unité $u(t)$).

Les chiffres du livre font référence à un filtre coupe-bande causale . Notez que la région de convergence (ROC) de la transformée de Laplace de cette réponse impulsionnelle est à droite des pôles. Par conséquent, la transformée de Laplace évaluée à toute valeur fixe de$s$à droite des pôles sera fini, simplement parce que nous sommes à l'intérieur du ROC, c'est-à-dire que l'intégrale converge. Si nous choisissons$s$exactement au zéro du filtre alors on évalue la réponse du filtre à la fréquence d'entaille, qui doit être nulle, simplement par la définition de "fréquence d'entaille". La réponse du filtre à un signal à cette fréquence doit être nulle. Enfin, si nous choisissons la valeur de$s$ exactement à ou à gauche des pôles du filtre, nous sommes à l'extérieur du ROC, auquel cas l'intégrale ne converge pas.

Elaws Nov 25 2020 at 05:23

Le message d'origine a été mis à jour pour ajouter des informations sur les raisons pour lesquelles l'intégrale diverge ou a une valeur complexe finie.

La figure 32.5 (question originale) ne peut être comprise (en particulier "b. Annulation exacte") si l'on considère:

$$ h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos{\omega_0t} $$

($h(t) = 0$ pour $t<0$)

$h(t)$En figue. 32-5 n'est pas une simple sinusoïde à décroissance exponentielle: si c'était le cas, l'intégrale pourrait en effet ne pas être égale à 0 pour toute valeur de s, comme soulevé par la question initiale.

Au lieu de cela, comme l'a souligné Matt L., $h(t)$est la réponse impulsionnelle d'un filtre Notch. Comment cela aide-t-il à comprendre pourquoi l'intégrale passerait à 0 pour certains$s$? Eh bien, cette réponse impulsionnelle a la particularité de contenir un dirac (et aussi une combinaison de sinusoïdes en décomposition exponentielle)! Et si vous faites attention à la fig.32-5, ce dirac est bien montré dans la réponse impulsionnelle (raté ce pensant que c'était l'axe des ordonnées ...), voir figure ci-dessous:

Et c'est la zone sous ce dirac qui compensera la zone sous les composants sinusoïdes en décomposition exponentielle de $h(t)$ pour les valeurs appropriées de $s$, d'où les zéros!

Pour une explication plus détaillée du calcul impliqué dans cela, ainsi que de la signification physique d'un dirac dans une réponse impulsionnelle, veuillez consulter les réponses données à cette question .

Une autre question était la suivante:

(bien que je ne sache pas pourquoi nous avons une fonction continue d'oméga avec des valeurs infinies à ω0 et −ω0 au lieu de diracs comme dans la transformée de Fourier originale d'une sinusoïde).

Je pense que cela est dû à une transformation de Laplace unilatérale au lieu d'une transformation bilatérale. En effet, voyez dans cet exemple la transformée de Fourier unilatérale des ondes sinusoïdales. C'est comme si nous multipliions l'onde sinusoïdale avec une fonction de pas unitaire. Ainsi, la transformée de Fourier unilatérale d'une onde sinusoïdale est la transformée de Fourier d'une onde sinusoïdale contournée par la transformée de Fourier d'une fonction de pas unitaire (voir les détails dans le lien donné). C'est pourquoi dans une tranche verticale donnée (pour un$\sigma$) de $s$ avion, nous n'obtiendrons pas la transformée de Fourier habituelle, mais la transformée unilatérale, qui est un peu différente.