Trouver au moins une solution de système d'équations avec contraintes

Question

Considérons le système d'équations avec contraintes$$ \begin{cases} x+y+z+t+u+v=3(a+b), \\ x+y+2(z+t)+3u=6b\\ 0 \leq x,y,z,t,u,v \leq 1, \end{cases} $$ici$0 \leq a,b \leq 1$sont des paramètres fixes.

Je dois trouver au moins une solution non triviale de l'équation. Sous non trivial, je veux dire une solution qui diffère de$0$et$1$, il serait très préférable pour presque tous$a,b.$Mieux si les solutions étaient exprimées en termes de$a,b$. Sinon, il doit y avoir un algorithme pour le calculer.

Ma tentative. J'ai traité le problème comme un problème d'optimisation et j'ai essayé d'utiliser la méthode du simplexe. Malheureusement, j'obtiens très souvent une solution avec beaucoup de zéros et de uns. Par exemple si$a=0.22, b=0.34$Je reçois$$ t= 0.52,u= 0.0,v= 0.16,x= 1.0,y= 0.0,z= 0.0$$et ce n'est pas si bon.

Des idées?

Answer 1

En additionnant et en soustrayant, nous obtenons l'ensemble de toutes les solutions :

$y=6a+u-2v-x$et$z=-3a+3b-t-2u+v$.

Ainsi, par exemple, le réglage$a=\frac{1}{2}, u=\frac{1}{6}, v=\frac{6}{7},x=\frac{1}{2}, t=\frac{1}{2}$et$b=\frac{2}{3}$donne$y=\frac{20}{21}$et$z=\frac{11}{21}$.