Trouver toutes les fonctions $f$ tel que $f(mn) = f(m)f(n)$ et…

Question

Trouver toutes les fonctions $f : N → N$ tel que

(une) $f(2) = 2$

(b) $f(mn) = f(m)f(n)$ pour tous $m, n ∈ N$

(c) $f(m) < f(n)$ pour $m < n$

D'abord, j'ai substitué $m=1,n=2$ obtenir $f(1)=1$. Ensuite, nous pouvons facilement remarquer que tous les pouvoirs de$2$seront égaux à eux-mêmes. C'est$f(4)=4,f(8)=8$, etc. Maintenant, la prochaine étape, je ne suis pas si sûr, est correcte. Comme$f(4)>f(3)>f(2)$, et $f : N → N$, Je pense $f(3)$ ne peut être $3$mais encore une fois, je ne suis pas si sûr. Si tel est le cas, je pense que la seule fonction possible est$f(x)=x$.

Passons maintenant à la partie suivante du problème -

Que se passe-t-il si la troisième condition ne nous est pas donnée?

Malheureusement, je n'ai même pas la réponse au problème et encore moins une solution. Tous les indices seraient également utiles, merci.

Answer 1

Plus facilement :

si $f(1)=1$ et $f(2^n)=2^n$, et parce que vous avez $$1 =f(1) < f(2) < f(3) < f(4) < ... < f(2^n)=2^n$$

la seule possibilité est que $f(2)=2$, $f(3)=3$, $f(4)=4$ etc.