Trouvez une statistique suffisante $Y$ pour $\theta$ puis trouvez l'estimateur de Bayes $w(Y)$

Question

Laisser $X_1,...,X_n$ être un échantillon aléatoire iid ayant pdf $\theta x^{\theta-1}1(0 < x \le 1)$

Trouvez une statistique suffisante $Y$ pour $\theta$ puis trouvez l'estimateur de Bayes $w(Y)$ basé sur cette statistique en utilisant la fonction de perte $L(\theta,a) = (a-\theta)^2$ où la distribution a priori est exponentielle avec la moyenne $\frac{1}{\beta}$.

Première suffisance:

La fonction de vraisemblance est $\displaystyle L(\theta) = \Pi_{i = 1}^n\theta x_i^{\theta -1} = \theta^n(x_1\cdots x_n)^\theta(x_1\cdots x_n)^{-1}$ ainsi par le théorème de factorisation on peut prendre $Y = (x_1\cdots x_n)^{-1}$.

Estimateur Bayes:

Pour la perte d'erreur carrée, l'estimateur $w(Y) = \hat{\theta} = E[\theta \mid Y\,]$ c'est-à-dire la moyenne du postérieur.

Pour le besoin postérieur de résoudre d'abord $m(y) = \displaystyle \int_0^\infty \beta e^{-\beta \theta}y^{1-\theta}d\theta$Est-ce une intégrale bien connue? J'essayais de résoudre par substitution u mais je fais une erreur quelque part. j'essaie$u = y^{-\theta}, du = -y^{-\theta}\log(y)d\theta$ mais pour une raison quelconque, je ne vois pas comment prendre soin de $e^{-\beta\theta}$.

Avant de continuer j'apprécierais de savoir si cela est correct:

ÉDITER: $y^{-\theta} = e^{-\theta \log(y)}$ alors réécrivez comme $\displaystyle \beta y \int_{0^\infty}e^{-\theta(\beta + \log(y))}d\theta$ Et mettre $u = -\theta(\beta + \log(y)) $

Alors nous aurons $\displaystyle -\frac{\beta y}{\beta + y}e^{-\theta(\beta + \log(y))} \bigg \vert_{\theta = 0}^\infty= \frac{\beta y}{\beta + y}$

Voudrais toujours savoir si c'est une intégrale bien connue.

Maintenant, la prochaine étape consiste à résoudre $\displaystyle E[\theta \mid Y] = \int_0^\infty \theta \frac{y+\beta}{\beta y}\beta e^{-\beta \theta}\theta^ny^{1-\theta}d\theta$correct? et cela donnera à utiliser l'estimateur que nous cherchons.

Answer 1

En utilisant le théorème de factorisation, la statistique suffisante pour $\theta$ est $y=\prod_i X_i$. Ceci parce que la fonction$g(\theta,t(\mathbf{x}))$ dépend des données uniquement à travers la statistique "t = produit".

La fonction $\frac{1}{\prod_{i}X_{i}}$ vous avez mal identifié comme la statistique suffisante est la fonction de "x seul".

Ensuite, le postérieur est le suivant (indice: lors du calcul du postérieur, jetez toute quantité qui ne dépend pas de $\theta$)

$$\pi(\theta|y) \propto e^{-\beta \theta}\theta^n y^{\theta-1}$$

$$\propto e^{-\beta \theta}\theta^n e^{(\theta-1) log y}$$

$$\propto \theta^ne^{-(\beta-logy)\theta}$$

... on reconnaît immédiatement dans ce postérieur une distribution Gamma ...

maintenant vous pouvez éliminer le problème par vous-même sans résoudre l'intégrale de manière analitique