Un corollaire de l'inégalité de Doob pour les sous-martingales en général
J'ai essayé de prouver le résultat suivant:
Laisser $(X_n)_{n \in \mathbb N_0}$être une sous-martingale ou une supermartingale. Utilisez l'inégalité de Doob et la décomposition de Doob pour montrer que, pour tous$n \in \mathbb N$ et $\lambda > 0$, $$ \lambda\mathbb P\left[|X|_n^* \geq \lambda\right] \leq 12\mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] + 9\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]. $$ où $|X|_n^* = \sup\left\{|X_k| : 0 \leq k \leq n\right\}$.
La version de l'inégalité de Doob que nous utilisons est que pour tout $p \geq 1$, $\lambda > 0$, et martingale ou sous-martingale positive $Y$, $$ \lambda^p \mathbb P\left[|Y|_n^*\geq \lambda\right] \leq \mathbb E\left[\left|Y_n\right|^p\right]. $$ Il suffit de prouver ce résultat lorsque $X$est un sous-martingale. Utilisation de la décomposition de Doob$X = M+A$, $M$ une martingale et $A$ un processus de plus en plus prévisible avec $A_0 = 0$ (donc $A$est une sous-martingale positive), on peut en effet montrer une inégalité plus forte. En effet, depuis$A$ est positif et croissant, $|X|_n^* \leq |M|_n^* + A_n$. Et depuis$A_0 = 0$: $$ \mathbb E\left[A_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_n\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[M_0\right] = \mathbb E\left[X_n\right] - \mathbb E\left[X_0\right] \leq \mathbb E\left[|X_n|\right] + \mathbb E\left[|X_0|\right] $$ d'où il résulte que $$ \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right] \leq \mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[A_n\right] \leq 2\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right] + \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right]. $$ En utilisant ces inégalités, il s'ensuit que \begin{align*} \lambda\mathbb P\left[|X|^*_n\geq \lambda\right] & \leq \lambda\mathbb P\left[|M|_n^*+A_n\geq\lambda\right] \\ &\leq \lambda \mathbb P\left[ |M|^*_n\geq \frac 2 3 \lambda\right] + \lambda\mathbb P\left[A_n\geq\frac 1 3 \lambda\right] \\ &\leq \frac 3 2 \mathbb E\left[\left|M_n\right|\right]+ 3\mathbb E\left[A_n\right] \\ &\leq 6\mathbb E\left[\left|X_n\right|\right]+\frac 9 2 \mathbb E\left[\left|X_0\right|\right] \end{align*} Ma question est double:
- Y a-t-il une erreur dans cet argument, comme une faille dans mes hypothèses ou une hypothèse injustifiée que je ne remarque pas? Et sinon,
- Y a-t-il une raison pour laquelle le livre que j'utilise (Klenke's Probability Theory: A Comprehensive Course ) utilise les coefficients$12$ et $9$ plutôt que $9/2$ et $6$? Le résultat énoncé est-il en quelque sorte plus classique ou plus facile à montrer en utilisant des propriétés plus fondamentales des martingales et de la décomposition de Doob?
Ce problème a également été discuté ici , mais ce fil ne traite pas vraiment de l'apparente arbitraire des coefficients$12$ et $9$. Quelqu'un peut-il fournir des informations?
Réponses
Ce n'est qu'un fragment de réponse parce que je ne touche pas à votre preuve ou aux techniques qu'elle utilise, mais c'est trop long pour un commentaire. Mon intuition est que les coefficients sont arbitraires car ils ne sont pas optimaux. Voici une amélioration possible, que je tire du livre Brownian Motion, Martingales, and Stochastic Calculus de Jean-François Le Gall (p.263)
Inégalité maximale Si$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une supermartingale alors pour tous $\lambda>0$ et $k\in\mathbb{N}$: $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq\mathbb{E}\left|Y_0\right|+2\mathbb{E}\left|Y_k\right|$$
Preuve (pas dans le livre). Réparer$\lambda>0$ et $k\in\mathbb{N}$. Laisser$A_k=\left\{\omega\in\Omega : \sup_{n\leq k}Y_k(\omega)> \lambda\right\}$. Définir l'heure d'arrêt$T=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n> \lambda\right\}$, et remarquez que $A_k=\left\{T\leq k\right\}$. Puisque$(Y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est une supermartingale $$\mathbb{E}Y_0\geq\mathbb{E}Y_{T\land k}\geq \lambda \mathbb{P}(A_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A_k^c}]$$ Maintenant, laisse $S=\inf\left\{n\in\mathbb{N} : Y_n<-\lambda\right\}$ et $B_k=\left\{\omega\in\Omega : \inf_{n\leq k} Y_k(\omega)<-\lambda\right\}$. Nous avons$$\mathbb{E}Y_k\leq\mathbb{E}Y_{S\land k}\leq -\lambda \mathbb{P}(B_k)+\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k^c}]$$ Réorganiser et additionner les deux inégalités donne $$\lambda\mathbb{P}\left[\sup_{n\leq k}\left|Y_n\right|>\lambda\right]\leq \mathbb{E}Y_0-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{A^c_k}]-\mathbb{E}[Y_k\mathbf{1}_{B_k}]\leq \mathbb{E}|Y_0|+2\mathbb{E}|Y_k|$$ À propos, nous avons également prouvé qu'une borne supérieure encore meilleure est $\mathbb{E}Y_0 + 2\mathbb{E}Y_k^-$.