Un groupe résoluble fini non trivial a-t-il un sous-groupe d'indice de puissance premier pour chaque diviseur premier?
Il est bien connu que chaque sous-groupe maximal de $G$ est d'indice de puissance premier si $G$ est un groupe résoluble fini non trivial.
Ma question est la suivante: pouvons-nous prouver que pour chaque prime$r\in\pi(G)$ il existe un sous-groupe maximal de $G$ d'index une puissance de $r$?
J'ai essayé de le prouver mais j'ai constaté que j'avais commis une erreur dans ma preuve. Voici ma tentative:
Définir $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ Nous prétendons que $\pi^*$est un ensemble vide. Suppose que$\pi^*$n'est pas vide. Alors les indices des sous-groupes maximaux sont exactement les puissances des nombres premiers dans$\pi(G)\setminus\pi^*$. Prenez un Sylow$q$-sous-groupe $S_q$ pour chaque $q\in\pi(G)$. Pour$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, prenez un sous-groupe maximal arbitraire $M$ de $G$ tel que $|G:M|$ est une puissance de $p$. Nous avons$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ Cela implique que $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ n'est contenu dans aucun sous-groupe maximal de $G$. Mais$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ est correctement contenu dans $G$, ce qui est une contradiction.
Mon erreur :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ n'est pas nécessairement un sous-groupe de $G$, donc en fait je ne peux pas avoir de contradiction.
Pouvez-vous me donner quelques idées? Je pense que je devrais peut-être le prouver d'une manière différente. Toute aide est appréciée. Merci!
Réponses
C'est le théorème de Hall sur les groupes solubles. Il est dit:
Un groupe fini est soluble si et seulement si, pour chaque $p\mid |G|$, il existe un $p'$-sous-groupe $H$ dont l'indice est une puissance de $p$.
Un sous-groupe $H$ tel que $|H|$ et $|G:H|$are coprime est appelé un sous - groupe Hall , et si$\pi$ est un ensemble de nombres premiers tels que $p\in \pi$ se divise $|G|$ si et seulement s'il divise $|H|$, puis $H$ est une salle $\pi$-sous-groupe.
Prouver cela sans indices est un peu un défi. Vous pouvez le rechercher dans votre manuel préféré ou suivre le plan ci-dessous pour une direction. Laisser$\pi$ être un ensemble de nombres premiers, et nous visons à prouver l'existence d'un Hall $\pi$-sous-groupe dans $G$.
- Laisser $K$ être un sous-groupe normal minimal de $G$. Si$K$ est un $\pi'$-sous-groupe alors tout est fait.
- Si $K$ est un $p$-sous-groupe pour $p\in \pi$, alors vous pouvez utiliser le théorème de Schur-Zassenhaus à la pré-image d'une salle $\pi$-sous-groupe dans $G/K$.
Vous pouvez trouver une preuve complète ici , p.28.
Oui, pour chaque ensemble de nombres premiers, le groupe fini résoluble contient un sous-groupe de Hall dont l'ordre n'est divisible que par ces nombres premiers et l'indice n'est divisible par aucun d'entre eux. Prenons maintenant l'ensemble de tous les nombres premiers qui divisent l'ordre du groupe sauf un. Un sous-groupe Hall correspondant est ce dont vous avez besoin.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup