Un problème de combinatoire et l'interprétation des probabilités
Pour une variable vectorielle gaussienne $w\sim N(0,I_{n\times n})$, les moments de norme carrée sont $\mathbb{E} \|w\|^{2 r} = \prod_{t=0}^{r-1} (n + 2 t)$.
Basé sur le théorème d'Isserlis ,$\mathbb{E} \|w\|^{2 r}$ peut également être évalué comme $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}(2 |p|-1)!!$$ où $\mathcal{P}([r])$ signifie toutes les partitions sur le plateau $[r]=\{1,\dots,r\}$, $\pi$ est une partition, $p$ est un bloc dans une partition, $|\pi|$ et $|p|$ sont le nombre de blocs et le nombre d'éléments dans un bloc.
Considérons maintenant une variante du problème ci-dessus. $$\sum_{\pi\in \mathcal{P}([r]), |\pi|\leq n}\frac{n!}{(n-|\pi|)!}\prod_{p\in\pi}\frac{1}{2}~(2 |p|-1)!!$$ La formule ci-dessus ne diffère que des moments de la norme carrée de la variable vectorielle gaussienne avec un facteur $\frac{1}{2}$. Existe-t-il une solution de produit fini et une interprétation des probabilités similaires pour la formule ci-dessus?
Réponses
Réparer $n$. Laisser$$ G(x) = \sum_{i=0}^n \frac{n!}{(n-i)!}\frac{x^i}{i!} = (1+x)^n. $$ Laisser $$ F(x) = \sum_{j\geq 1}\frac 12 (2j-1)!!\frac{x^j}{j!} = \frac{1}{2\sqrt{1-2x}}-\frac 12. $$Par la formule de composition (Théorème 5.1.4 de Combinatorics énumératifs , vol. 2), le nombre que vous voulez est$r!$ multiplié par le coefficient de $x^r$ dans $$ G(F(x)) = \frac{1}{2^n}\left( 1+\frac{1}{\sqrt{1-2x}}\right)^n. $$ Vous pouvez développer cela par le théorème binomial, puis développer chaque terme en une série de puissance pour obtenir une formule pour votre nombre sous forme de somme avec $n$ termes.