Une définition plus générale d'une source et d'un puits pour un champ vectoriel

Aug 17 2020

Pour autant que je sache, la définition d'une source et d'un puits respectivement est donnée en termes d'opérateur de divergence.

Autrement dit, étant donné un champ vectoriel $\vec{D}$, il a une source en point$P$ si sa divergence $\text{div}\vec{D}$ est pozitif dans $P$ou un évier si c'est négatif. Par exemple, en électromagnétisme, on dit$\text{div}\vec{D} = \rho_v$$\rho_v$ est la densité de charge volumique et $\vec{D}$ est la densité de flux électrique.

Mais disons $\vec{D}$ est donné par une charge ponctuelle positive $q$ situé à $(0,0,0)$ qui crée le champ

$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$

$\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.

Dans ce cas, $\text{div}\vec{D}=0$ partout, cependant l'origine est une sorte de source car le champ "émerge" de là et le flux net sur chaque surface renfermant la charge est positif.

Ma question est la suivante: existe-t-il d'autres définitions d'une source et d'un puits? Peut-être certains qui sont un peu plus généraux et englobent des cas plus particuliers comme celui que j'ai mentionné pour la dernière fois?

Réponses

1 LukasMiristwhisky Aug 17 2020 at 01:37

Je pense qu'une généralisation intuitive vient du théorème de divergence! À savoir, si nous savons qu'un champ vectoriel a une divergence positive dans une région, alors l'intégrale sur la surface de toute boule autour de cette région sera positive. Cela englobe votre exemple, car de cette façon, nous n'avons jamais besoin de regarder la singularité de$x = 0$, on regarde juste des boules autour de cette singularité!

Dénoter par $B_r(p)$ la boule ouverte de rayon $r > 0$ autour $p$, et dénoté par $\partial B_r(p)$ sa surface limite.

Laisser $U \subset \mathbb{R}^n$ être un ensemble ouvert, et $p \in \mathbb{R}^n$ un point pour qu'il y ait un $\epsilon > 0$ pour que les sphères $\partial B_r(p)$ sont contenus dans $U$ pour tous $r < \epsilon$.

Étant donné un champ vectoriel continu $X : U \to \mathbb{R^n}$, on dit qu'un point $p \in U$ est...

  • ... une source pour$X$ s'il y a un $\epsilon > 0$ pour que $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
  • ... un évier pour$X$ est s'il y a un $\epsilon > 0$ pour que $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$

Si votre champ vectoriel peut être étendu pour être lisse dans tout l'intérieur $B_r(p)$ des sphères $S_r(p)$, alors le théorème de divergence nous dit

$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$

et alors votre définition implique celle-ci, car si $\text{div} X(p) > 0$ en un seul point, puis par les arguments de continuité il y aura une boule entière $B_r(p)$ sur lequel $\text{div} X > 0$.

Vous constaterez que votre exemple correspond parfaitement à cette définition et que vous pouvez très facilement calculer les intégrales sur des boules autour de zéro, et elles vont toutes être positives, même si vous ne pouvez jamais toucher le point zéro lui-même.

Je ne cite aucun manuel, alors méfiez-vous, ce n'est que ma propre opinion sur une généralisation raisonnable :)

EDIT: Une alternative est de changer la définition de la divergence, mais toujours en utilisant cette idée d'intégrer des boules autour des points, voir par exemple dans cette question et réponse.

1 astro Aug 17 2020 at 02:02

Dans le cas où le champ vectoriel est intégrable, vous pouvez donner une définition beaucoup plus topologique.

Laisser $\vec{D}$ être un champ vectoriel intégrable et $d$son flux. Laisser$p$ tel que $\vec{D}(p)=0$.

$p$ est un $\textit{sink}$ ssi il existe un ensemble ouvert $U$ contenant $p$ tel que $\overline{d(U)} \subset U$.

$p$ est un $\textit{source}$ ssi il existe un ensemble ouvert $U$ contenant $p$ tel que $\overline{U} \subset {d(U)} $.