Une définition plus succincte du sous-domaine

Question

Je lis le manuel Algebra de Saunders MacLane et Garrett Birkhoff dans lequel un sous-champ est défini comme

Un sous-ensemble d'un champ$F$est un sous-champ si et seulement s'il est fermé sous les opérations unité multiplicative, soustraction, multiplication et inverse multiplicatif (d'éléments non nuls).

Mes questions:

1. De cette définition de sous-anneau, c'est-à-dire

Un sous-anneau d'un anneau$(\mathrm{R},+, *, 0,1)$est un sous-ensemble$\mathrm{S}$de$\mathrm{R}$qui préserve la structure de l'anneau, c'est-à-dire un anneau$(\mathrm{S},+, *, 0,1)$avec$\mathrm{S} \subseteq \mathrm{R}$. De manière équivalente, c'est à la fois un sous-groupe de$(\mathrm{R},+, 0)$et un sous-monoïde de$(\mathrm{R}, *, 1)$.

Je comprends "De manière équivalente, c'est à la fois un sous-groupe de$(\mathrm{R},+, 0)$et un sous-monoïde de$(\mathrm{R}, *, 1)$" comme

Un sous-ensemble$S$est un sous-anneau de$R$si et seulement si$S$est un sous-groupe additif de$(R,+,0)$et$S \setminus \{0\}$est un sous-monoïde multiplicatif de$(R \setminus \{0\},*,1)$.

1. Inspiré par la définition ci-dessus. J'ai trouvé une définition plus succincte du sous-champ, c'est-à-dire

Un sous-ensemble$E$d'un champ$(F,+, *, 0,1)$est un sous-champ si et seulement si$E$est un sous-groupe additif de$(F,+,0)$et$E \setminus \{0\}$est un sous-groupe multiplicatif de$(F \setminus \{0\},*,1)$.

Pourriez-vous s'il vous plaît vérifier si ma compréhension est correcte? Je vous remercie beaucoup pour votre aide!

Answer 1

Une petite correction : votre deuxième formulation (version de la définition de sous-champ) est correcte, mais la première sur les sous-anneaux n'est pas vraie en général :$(R\setminus\{0\},*,1)$lui-même n'a pas besoin d'être un monoïde (c'est-à-dire fermé sous multiplication), car l'anneau$R$peut avoir des diviseurs nuls ou$R\setminus\{0\}$peut être vide.

En disant$(R\setminus\{0\},*,1)$est un monoïde (c'est-à-dire un sous-monoïde de$(R,*,1)$) implique déjà$1\neq 0$et$R$n'a pas de diviseur nul. Dans ce cas (uniquement),$(S,*,1)$est un sous-monoïde de$(R,*,1)$ssi$(S\setminus\{0\},*,1)$est un sous-monoïde de$(R\setminus\{0\},*,1)$.

Answer 2

Oui les deux sont corrects. Vous avez probablement remarqué le modèle dans toutes ces définitions : une sous-boucle d'une boucle$X$est un sous-ensemble$Y$de$X$qui est toujours un flop avec les opérations dont il hérite$X$.