Une équation différentielle intégrable non linéaire

Aug 19 2020

J'essaie de résoudre une question d'un tutoriel sur les mathématiques pour la physique qui n'a jamais été fait en raison de la pandémie, donc je ne connais pas la réponse ou une méthode appropriée pour la résoudre. Néanmoins, voici la question et ma tentative de la résoudre. Des commentaires, des suggestions sur la façon de l'aborder et des recommandations de lectures supplémentaires seraient extrêmement appréciés.

Soit l'équation du mouvement :$$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$et,$$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$$V(x)$est un potentiel dérivable connu et$E$est indépendant de$t$.

  1. Par intégration de l'équation donnant$\dot{x}$, Exprimer la solution avec la condition initiale$x(t_0)=x_0$sous la forme de t(x).

De l'équation$(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
En prenant la racine positive et à partir de la condition initiale, nous savons$Cste=-t_0$

$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$2. Soit un potentiel croissant à l'infini :$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$$C>0$et$a>0$. On considère une particule de vitesse initiale$v_0>0$. Donner le comportement asymptotique de$x(t)$lorsque$E>0$et$E=0$.
J'ai essayé de remplacer l'expression de$V(x)$à l'infini dans l'intégrale :$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$J'essayais de le convertir sous la forme de$\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$par substitution mais il m'est apparu qu'il n'est pas possible peut-être que je ne suis pas autorisé à substituer directement l'expression de$V(x)$à l'infini.
Je pense aussi qu'il existe un moyen de contourner cette question sans avoir à calculer l'intégrale, mais je n'arrive pas à en trouver un. J'espère que quelqu'un peut m'aider.

Réponses

1 Suna Aug 23 2020 at 21:34

Je crois que vous avez répondu correctement à la première question, cependant, le problème avec la deuxième question vient du fait que vous essayez d'obtenir l'anti-dérivée, ce qui, à mon avis, est très difficile. Voici mon approche :
supposons que x est proche de l'infini, alors nous avons,$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Remplaçons cela dans l'équation$(1)$et intégrez-le :$$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$donc nous avons:$$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$aussi,$$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$laisser$D=a(2a+2)(2a+3)$,$$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$remplacer ceci dans l'équation$(2)$puisque nous voulons présenter$E$dans la solution pour étudier le comportement asymptotique :
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
Voici un graphique de$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$(où$a$et$Z$sont des constantes) pour vous donner une meilleure idée. Jouez avec les curseurs pour voir le comportement de la fonction.
Nous pouvons voir sur le graphique que si$E=0$une particule à la position$x_1$commence à approcher$x=0$, que nous pouvons considérer comme l'origine du potentiel, il lui faut un temps infini pour y parvenir (dans la plupart des cas pratiques, nous pouvons considérer qu'il est arrêté). Et si$E>0$la même chose se produit mais l'écart augmente signifiant que la particule est asymptotiquement arrêtée avant d'atteindre l'origine.