Une question concernant la règle de la chaîne pour les dérivées partielles

Question

Laisser $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb {R}$ être une fonction différentiable et considérer la fonction $F:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R}, F(x, y, z)=f(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Calculer$\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$ et $\frac{\partial F}{\partial z}$ en terme de $f$les dérivées partielles du premier ordre.
J'ai commencé par reconnaître que$F=f\circ g$, où $g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R^2}, g(x, y, z)=(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Notons par$u(x,y,z):=x^2-y+2yz^2$ et $v(x,y,z)=z^3e^{xy}$ $g$composants de.
Par la règle de la chaîne, je sais que$$\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\cdot \frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z)+ \frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z)$$ et les mêmes relations valent pour $\partial y$ et $\partial z$, mais je ne comprends pas comment / si je pourrais simplifier davantage $\frac{\partial f}{\partial u}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$ et $\frac{\partial f}{\partial v}(x^2-y+2yz^2, z^3e^{xy})$. Autant que je sache, ce sont les dérivés partiels de$f$ en ce qui concerne les fonctions $u$ et $v$. Comment les calculer?

Answer 1

Pour rendre les choses plus claires, notez $u$ et $v$ les variables pour $f$, où $$u=x^2-y+2yz^2,\qquad v=z^3\mathrm e^{xy}.$$

La règle de la chaîne affirme que \begin{align} \frac{\partial F(x,y,z)}{\partial x}&=\frac{\partial f(u,v )}{\partial u}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot \frac{\partial u(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggl|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot\frac{\partial v(x,y,z)}{\partial x} \\ &=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot 2x+\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\biggr|_{\substack{u=x^2-y+2yz^2\\v=z^3\mathrm e^{xy}}}\!\cdot yz^3\mathrm e^{xy} \end{align} et de même pour les autres dérivés partiels.

Answer 2

Si vous utilisez la règle de chaîne pour le dérivé de $multivariate$ fonctions, vous pouvez lire les $partial$dérivés. Plus précisément, suite à votre idée, nous avons

$F'(x_0,y_0,z_0)=(f\circ g)'(x_0,y_0,z_0)=f'(g(x_0,y_0,z_0))\circ g'(x_0,y_0,z_0).$

Sous forme matricielle,

$\begin{pmatrix} F_x(x_0,y_0,z_0) &F_y(x_0,y_0,z_0) &F_z (x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}=$

$\begin{pmatrix} f_x(g(x_0,y_0,z) & f_y(g(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2x_0 &2z_0^2-1 & 2y_0z_0\\ y_0z_0^3e^{x_0y_0}& x_0z_0^3e^{x_0y_0} & 3z_0^2e^{x_0y_0} \end{pmatrix}$

Maintenant multilpy les matrices pour lire les dérivées.