Unicité des champs finis avec $p^n$éléments. [dupliquer]

Dec 25 2020

Il est bien connu qu'il n'existe qu'un seul champ fini avec $p^n$ éléments, jusqu'à l'isomorphisme, où $p$ est un premier et $n \geq 1$.

Laisser $n = m t$, où $m, t > 1$.

ensuite $F = Z_p[X]/(f(X))$ est un champ avec $p^n$ éléments, fournis $f$ est un polynôme irréductible de degré $n$ dans $Z_p$.

Par la même occasion, $G = Z_p[X]/(g(X))$ est un champ avec $m$ éléments ($g$ irréductible de degré $m$). ensuite$G$ a $p^m$ éléments.

Enfin laissez: $H = G[X]/(h(X))$$h$ est un polynôme irréductible de degré $t$ avec des coefficients en $G$.

Maintenant, dans ma compréhension $F$ et $H$ avoir les deux $p^n$éléments. Ma question est donc:

Sont $F$ et $H$ isomorphe?

Réponses

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

Cela repose sur un fait général sur la division des champs.

Laisser $F$ être un champ et $f(X)\in F[X]$être un polynôme monique. Un champ d'extension$K$ de $F$est un champ de fractionnement pour$f$ si

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ dans $K[X]$ (les racines n'ont pas besoin d'être distinctes);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Théorème. Si$K_1$ et $K_2$ divisent des champs de $f(X)\in F[X]$, alors il existe un isomorphisme de champ $\varphi\colon K_1\to K_2$ en quittant $F$ fixe ponctuellement.

La preuve est longue et peut être trouvée dans n'importe quel livre sur la théorie de Galois, car c'est un outil de base de celle-ci.

Considérons maintenant le polynôme $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, où $\mathbb{F}_p$ est le $p$-element field (qui est unique jusqu'à un isomorphisme unique).

Laisser $K$ être un champ de division de $f(X)$. ensuite$f(X)$ a $p^n$ racines distinctes dans $K$ (parce que la dérivée du polynôme est $-1$). D'autre part, l'ensemble des racines de$f(X)$ est un sous-champ de $K$: en effet, si $a,b$ sont des racines, alors $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ donc $a+b$ est une racine de $f$. De manière analogue$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$et il est facile de vérifier les réciproques. Depuis aussi$0$ et $1$ sont des racines que nous avons fini.

Donc $K$ est l'ensemble de toutes les racines de$f$ et donc $|K|=p^n$.

Inversement, si $K$ est un champ avec $p^n$ éléments, alors le même argument que précédemment montre que $X^{p^n}-X$ a $p^n$ racines distinctes dans $K$, donc $K$ est un champ de fractionnement pour $f(X)$.

L'unicité jusqu'à l'isomorphisme découle maintenant du théorème ci-dessus.