Vérification d'une solution à un problème de logique mathématique
La question est la suivante:
Un détective a interrogé quatre témoins d'un crime. Le détective a conclu ce qui suit en fonction de la façon dont ces entretiens se sont déroulés:
- Si le majordome dit la vérité, le cuisinier le fait aussi.
- Le cuisinier et le jardinier ne peuvent pas dire tous les deux la vérité.
- Le jardinier et le bricoleur ne mentent pas tous les deux.
- Si le bricoleur dit la vérité, le cuisinier doit mentir.
La question est la suivante: le détective peut-il déterminer si chacun des individus ment ou non? Expliquez le raisonnement.
Répondre:
Nous ne considérons ici que si quelqu'un est véridique ou non. Nous pouvons donc simplement prendre une variable, either True or Falsedans tous les cas possibles, et revenir de là. cookest une de ces variables [True signifie qu'une personne spécifique dit la vérité, et False signifie exactement le contraire].
Si nous considérons que cookc'est vrai, handymandoit être faux (énoncé n ° 4). Selon la déclaration n ° 3, gardeneret handymanne peut pas être tous les deux faux en même temps, comme nous le savons déjà, handymanest faux (c'est-à-dire mentir), gardenerdoit être vrai.
Si gardenerest vrai, selon la déclaration n ° 2, cookdoit être faux. Cela contredit notre première hypothèse, c'est-à- cookdire vrai, c'est-à-dire dire la vérité. Ce qui nous laisse cookêtre faux.
Nous ne pouvons pas dire directement que cookc'est faux et l'affaire est résolue. C'est parce que si cookest faux, alors handymanest vrai. Mais cette déclaration n ° 3 divise en deux itinéraires différents.
gardeneret handymanne sont pas tous les deux faux, ce qui signifie que l'un des deux est vrai, ou les deux le sont. Comme handymanc'est vrai, considérons d'abord que gardenerc'est faux. Maintenant, nous sommes à nouveau dans la même situation où l'un ou l'autre est faux ou les deux. Si cookc'est vrai, nous contredirons notre hypothèse initiale, donc cookne peut pas être vrai. Ce qui nous laisse cookêtre faux ». Cela nous donne le premier ensemble d'hypothèses logiquement correctes. Notons-le.
cook = False
handyman = True
gardener = False
butler = False
Maintenant, nous considérerons gardenerêtre vrai. Si gardenerest vrai, cookdoit être faux. Alors maintenant, nous avons un autre ensemble de solutions
cook = False
handyman = True
gardener = True
butler = False
En comparant les deux solutions logiquement correctes, nous pouvons facilement en arriver à l'hypothèse que le détective ne peut pas déterminer si chaque individu ment ou non, car il y a plus d'un cas possible.
La méthode est-elle trop fastidieuse? Existe-t-il une autre méthode pour y parvenir? Tout est autodidacte, donc l'utilisation de terminologies différentes m'est étrangère pour le moment, si quelqu'un peut m'indiquer la bonne direction, je vous en serais reconnaissant.
Réponses
Prémisse.
b implique c
non-c ou non-g
g ou h
h implique non-c
Supposons que non-g. Ainsi
h; not-c: non-b.
Assune g. Donc
non-c: non-b.
Conclusion.
Le cuisinier et le majordome mentent.
Soit le cuisinier, soit le bricoleur disent la vérité.
On ne peut pas déterminer si l’un d’eux ment.
Pour obtenir la même réponse d'une manière différente:
Si vous commencez simplement par le haut et avancez, Butler-true implique Cook-true (par 1) implique Gardener-false (par 2) implique Handyman-true (par 3) implique Cook-false (par 4), contradiction. Alors le majordome ment; de plus, la contradiction venait purement d'une implication («Cook-true») de Butler-true, donc en effet le cuisinier ment aussi.
Les conditions 1, 2 et 4 deviennent alors vides et la condition 3 est la seule restriction restante.
La question est la suivante: le détective peut-il déterminer si chacun des individus ment ou non? Expliquez le raisonnement
Si la seule question à laquelle vous devez répondre ici est celle ci-dessus, alors, en fonction de la réponse (vraie ou fausse), vous écririez une preuve différente.
Si la réponse est " vraie : le détective peut décider qui ment", alors vous devez prouver que les conditions du problème impliquent une solution particulière. (C'est essentiellement ce que vous avez fait dans votre question.)
Cependant, si la réponse est " fausse : le détective ne peut pas décider qui ment", alors tout ce que vous avez à écrire est au moins deux listes différentes de qui ment , toutes deux compatibles avec les conditions du problème.
Comme la réponse ici est fausse , tout ce que vous auriez besoin d'écrire comme preuve serait:
Le détective ne peut pas décider qui ment, car les personnes qui mentent peuvent être (majordome, cuisinier) ou (majordome, cuisinier, jardinier) ou (majordome, cuisinier, bricoleur). Ces trois possibilités sont cohérentes avec les conditions du problème.
Bien sûr, il est très instructif et éducatif d'écrire comment vous êtes arrivé à ces trois possibilités. Cependant, omettre cette partie ne rend pas votre preuve moins valide (même si cela, sans doute, la rend beaucoup plus moche!). En outre, selon qu'il s'agit d'un problème de concours (ou d'examen) - une telle solution peut ne pas être acceptée comme solution complète, car le «raisonnement» qu'elle contient ne sera pas pleinement expliqué. Mathématiquement, cependant, ce serait une réponse correcte.