Fraktal dan dimensinya

Nov 27 2022

Fraktal adalah bentuk gila yang menunjukkan keteraturan dan pola dalam desain yang kacau. Ini memiliki banyak kurva yang menarik.

Fraktal adalah bentuk gila yang menunjukkan keteraturan dan pola dalam desain yang kacau. Ini memiliki banyak kurva yang menarik. Pola-pola menarik ini telah dipelajari secara individual karena sifatnya yang unik. Salah satunya adalah segitiga Sierpinski .

Segitiga Sierpinski pada dasarnya adalah segitiga sama sisi yang dibagi menjadi empat segitiga sama sisi (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah) dan segitiga tengahnya dihilangkan. Kemudian sub-segitiga itu lagi dibagi menjadi empat segitiga sama sisi dan segitiga tengah dihilangkan. Proses ini diulangi tanpa batas dan dalam proses tersebut, segitiga kompleks yang diterima adalah segitiga Sierpinski. Sekarang, jika dalam segitiga Pascal, semua bilangan ganjil berwarna hitam dan bilangan genap berwarna putih, maka yang akhirnya Anda dapatkan adalah segitiga Sierpinski. Tidak terduga, bukan?

segitiga Sierpinsky

Segitiga Sierpinski diperoleh dari segitiga Pascal

Fraktal bukan hanya bentuk atau pola acak yang dibuat secara matematis. Hal itu juga terlihat pada grafik populasi. Diamati bahwa makanan meningkat secara linear, tetapi populasi meningkat secara eksponensial. Belakangan diketahui bahwa populasi tidak terus meningkat dengan cara ini. Itu meningkat selama beberapa tahun, kemudian karena kekurangan makanan dan sumber daya, itu turun lagi. Perubahan populasi ini mengikuti fungsi sederhana,

[Biarkan persamaan di atas diberi label (1).]

Dimana, X adalah populasi tahun ini dan X_next adalah populasi tahun setelah X dan r adalah konstanta yang dapat disesuaikan dengan populasi yang dimodelkan. Untuk mengamati perilaku sistem jangka panjang, rumus ini diulangi berulang kali dan untuk melihat apa yang terjadi. Proses ini disebut iterasi.

Persamaan (1) diplot dengan mengambil 'r' sebagai 3,5 dan mengasumsikan dengan situasi hipotetis bahwa nilai X hanya antara 0 dan 1, dan diulang tanpa batas. Berikut grafik yang diperoleh:

Grafik ini dianggap sebagai fraktal karena menunjukkan sifat kesamaan diri di dalamnya. Saat Anda memperbesar 'jendela urutan' grafik, yang merupakan celah lebar dalam grafik, Anda akan melihat grafik asli yang sama lagi hadir di jendela itu. Semakin Anda memperbesar, Anda menemukan grafik yang sama berulang kali di jendela kekacauan. Fraktal ini disebut sebagai 'Pohon ara'.

Seperti yang pernah saya sebutkan di salah satu artikel saya sebelumnya Fraktal adalah bentuk yang kasar dan tidak beraturan. Kekasaran dan ketidakteraturan ini dapat dengan mudah dihitung. Bagaimana? Dengan menghitung dimensi Fraktal mereka. Felix Hausdorff dan Abram Besicovitch menemukan bahwa fraktal memiliki dimensi bukan bilangan bulat. Mereka menjelaskan bahwa fraktal adalah kurva yang memiliki dimensi 'di antara' dimensi bilangan bulat. Dimensi fraktal ini juga disebut sebagai dimensi Hausdorff-Besicovitch. Tetapi bagaimana cara menghitung dimensi ini? Ada dua metode utama yang dapat digunakan untuk menghitung dimensi dengan mudah.

Pertama, dengan menggunakan sifat keserupaan diri yang dimiliki oleh fraktal. Mari kita ambil bentuk dengan dimensi yang diketahui 1,2 dan 3. Untuk dimensi satu, mari kita ambil garis dengan panjang 1 unit dan turunkan menjadi 1/4 panjang aslinya. Jadi, panjangnya sekarang adalah 1/4 satuan. Untuk mendapatkan panjang aslinya, kita harus mengalikan 1/4 dari garis itu empat kali. Biarkan faktornya, garis diperkecil dengan, menjadi 's', angka yang 's' dikalikan untuk mendapatkan panjang asli menjadi 'n' dan dimensi menjadi 'D'. Jadi, Anda akan mengamati bahwa dalam kasus ini,

Rumus ini berlaku untuk semua dimensi. Misalkan kita mencoba membuktikannya dengan menggunakan luas bangun ruang 2 dimensi. Jadi, mari kita perkecil setiap sisi persegi yang memiliki panjang satuan menjadi 1/2 panjang aslinya sehingga luasnya diperkecil. 1/4. Jadi untuk mendapatkan kembali kuadrat aslinya, kita perlu mengalikan kuadrat yang diperkecil sebanyak 4 kali.

Jadi, D = 2, yang merupakan dimensi yang dibutuhkan.
Demikian pula, dapat dibuktikan untuk bentuk 3 dimensi.

Dengan demikian, persamaan umum yang ditemukan adalah,

Persamaan (2) merupakan salah satu rumus yang dapat digunakan untuk mencari dimensi fraktal suatu bangun. Sekarang, misalkan kita mengambil kurva Koch,

Dengan nilai n dan s yang diberikan di atas, jika kita mencoba menghitung dimensi fraktalnya dengan persamaan (2), kira-kira kita mendapatkan 1,26 . Ini adalah dimensi fraktal, kurva Koch.

Kedua, dengan menggunakan metode penghitungan grid.
Dalam metode ini, Anda hanya perlu menggambar kisi-kisi pada gambar fraktal, setiap kotak di dalamnya memiliki skala 1 satuan. Kemudian gambar lagi kisi-kisi di atasnya, tetapi kali ini setiap kotak memiliki skala 1/2. Sekali lagi, dengan setiap kotak memiliki skala 1/4. Hitung jumlah kotak yang dilalui fraktal. Anda dapat menghitung dimensi menggunakan rumus berikut,

di mana n( ) adalah jumlah kotak yang berisi gambar dan 1/s adalah skala kisinya. Kita sekarang dapat menghitung Dimensi kurva Koch. Diberikan di bawah ini adalah tiga kisi skala dalam rasio 1 : 1/2 : 1/4. Dengan menghitung, jumlah kotak pertama, kedua dan ketiga berturut-turut adalah 18, 41 dan 105.