Konstanta Euler

"e". Kita semua telah menemukan "e". Apa itu?

Ini adalah alfabet ke-5 dan vokal ke-2 dalam bahasa Inggris. Itu yang kita katakan ketika kita menunjukkan gigi kita kepada seseorang. Tapi, matematikawan mengenalinya sebagai konstanta Euler . Berdiri di samping konstanta matematika penting lainnya seperti π , i, Φ , sqrt{2}, dll, konstanta, bilangan irasional ini memiliki nilai 2,718281828459045235……

Sebagian besar konstanta matematika berbentuk geometris. Misalnya, π adalah rasio keliling lingkaran dengan diameternya, sqrt{2} adalah panjang hipotenusa segitiga siku-siku yang kaki-kakinya berukuran satu. Tapi, "e" adalah konstanta yang tidak ditentukan oleh geometri atau bentuk apa pun. Ini didasarkan pada pertumbuhan atau tingkat perubahan. Tapi bagaimana caranya?

Mari kita kembali ke abad ke-17, ketika Jacob Bernoulli mengerjakan bunga majemuk, yaitu mendapatkan bunga atas uang Anda.

Misalkan, Anda adalah bagian dari bank, bank yang sangat dermawan. Katakanlah Anda memberi bank ₹1 dan bank memberikan bunga 100% per tahun. (Bank yang sangat dermawan). Jadi sekarang, menjelang akhir tahun, Anda akan memiliki ₹2. Jadi, jika Anda mendapat bunga 50% per 6 bulan, apakah Anda akan mendapatkan jumlah yang sama, ₹2? Atau lebih dari itu? atau kurang dari itu? Mari kita hitung dan lihat, oke?

Nah, ini menunjukkan bahwa jika Anda mengambil bunga 50% per 6 bulan, itu akan membantu Anda mendapatkan lebih dari memiliki bunga 100% per tahun. Bagaimana jika Anda mengambil bunga 1/12 setiap bulan?

Kemudian, itu akan menjadi,

Jika 1/52 bunga diberikan per minggu, jumlah akhir Anda adalah,

Bagaimana dengan bunga 1/365 setiap hari, maka jumlah Anda menjelang akhir tahun setelah memberikan ₹1 ke bank adalah,

Anda juga dapat menghitung jumlah uang yang Anda peroleh setiap jam, setiap menit, setiap detik, atau bahkan setiap milidetik!

Jadi, apa yang Anda amati? Nilai dihitung sebagai n meningkat menggunakan rumus umum, sebagai

Jadi, Anda dapat melihat bahwa ketika nilai n meningkat, nilainya semakin mendekati nilai tertentu. Ini adalah nilai "e".

Namun, Jacob Bernoulli tidak menghitung nilai konstanta tersebut. Dia hanya tahu bahwa nilainya akan berada di antara 2 dan 3. Euler -lah yang akhirnya menghitung konstanta ini dan membuktikan bahwa itu tidak rasional. Dia menggunakan rumus untuk menghitung nilainya, bukan

Tapi rumus lain. Dia menggunakan rumus berikut.

Ini adalah pecahan lanjutan . Anda dapat mengatakan bahwa jika terus berlanjut, ada pola pada pecahan ini, 2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,……Jadi, jika terus berlanjut, maka, itu adalah pecahan irasional. Jika itu akan dihentikan, itu akan menjadi rasional karena Anda dapat menuliskannya sebagai pecahan. Jadi, ini membuktikan bahwa "e" adalah konstanta irasional.

Untuk menghitung nilai “e”, Euler menggunakan rumus yang berbeda. Itu adalah,

"e", adalah bahasa alami pertumbuhan, itu adalah bahasa alami kalkulus. Mengapa?

Gambar yang diberikan di atas menunjukkan grafik e ^ x. Sekarang, keistimewaan grafik e^x adalah, jika Anda mengambil titik apa pun pada grafik, nilai titik tersebut adalah e^x, gradien pada titik tersebut adalah e^x dan luas di bawah grafik dari titik tersebut seterusnya ke -∞ juga e^x. Jadi, saat Anda mengintegrasikan atau membedakan e^x, Anda mendapatkan e^x itu sendiri. Konstanta “e” ini membentuk alat yang sangat kuat dalam kalkulus.

Konstanta Euler “e” juga dikenal menyatukan beberapa konstanta besar dalam matematika dalam satu rumus, yaitu, akar dari -1, yaitu i, π, 1 dan 0. Ini juga sering disebut sebagai yang paling persamaan indah dalam Matematika:

Saya akan menulis lebih banyak tentang persamaan ini di artikel mendatang.