Ujian Akhir Kalkulus MIT

Saya menemukan masalah ini di 18.01 Practice Final, Fall 2003 exam. Bagaimana Anda menyelesaikan integral ini?

Ketika berhadapan dengan sebuah integral yang terdiri dari sebuah produk dari dua fungsi, salah satu teknik yang umum digunakan adalah integrasi dengan bagian-bagian .

Idenya adalah kita ingin memilih u sebagai fungsi yang mudah dibedakan; dan dv sebagai fungsi yang mudah diintegrasikan.

Dalam hal ini, kami ingin mengambil u sebagai kebalikan dari fungsi sinus ; dv sebagai xdx .

Sekarang, kita memiliki turunan dan antiturunan dari u dan dv , mari kita substitusikan ke dalam rumus bagian.

Apakah Anda melihat keajaiban teknik per bagian sekarang? Awalnya, kami harus berurusan dengan menemukan anti-derivatif dari invers fungsi sinus sedangkan kami hanya memperhatikan integral yang lebih sederhana di sebelah kanan.

Untuk menyelesaikan integral di sebelah kanan, kita dapat melakukan substitusi trigonometri .

Kami telah memilih x = sin(u) .

Kita selanjutnya dapat menyederhanakan integral di sebelah kanan dengan menerapkan Identitas Pythagoras .

Penyebut menjadi 2 kali akar kuadrat dari cos²(u) , yang menghasilkan persamaan di atas.

Ingat dari studi Anda tentang trigonometri dari rumus berikut.

Integral yang harus kita hitung selanjutnya disederhanakan.

Setelah integrasi, kami mendapatkan yang berikut ini.

Sebelum kita mengganti u kembali ke integral awal kita, mari kita cari tahu apa sin(2u) dalam suku x .

Semoga Anda mengerti bagaimana kami melakukannya.

Mari kita kembalikan semua itu ke dalam integral.

Akhirnya, integral kita adalah

Dan itu tempat yang bagus untuk berhenti.

Sebagai rangkuman, kita mulai dengan integrasi per bagian dengan memilih u dan dv yang cocok . Kami kemudian melanjutkan dengan substitusi trigonometri untuk menyederhanakan integral. Akhirnya, kita menyelesaikan substitusi trigonometri dengan menggambar segitiga siku-siku sehingga kita dapat menulis ulang integral dalam x .

Terima kasih telah membaca. Jangan lupa untuk bertepuk tangan jika artikel itu menurut Anda berwawasan.

Anda juga dapat mendukung saya dengan ko-fi ☕ .