$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$per i lati del triangolo$a,b,c$insieme a$ab+bc+ac=1$
Dato che$a,b,c$sono le lunghezze dei tre lati di un triangolo, e$ab+bc+ac=1$, la questione è dimostrare$$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$
Qualsiasi idea o suggerimento sarebbe apprezzato.
Questo è il Problema 6 del Round 1 delle BMO (British Mathematical Olympiad) 2010/2011, come si può vedere qui .
Nota. Questa domanda è stata auto-risposta . Tuttavia, ogni nuovo approccio è sempre il benvenuto!
Risposte
Suggerimento: l'espansione dell'LHS ci dà$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$
Adesso,$(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$.
Sommando entrambe le identità, otteniamo$$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$
Grazie al suggerimento di SarGe, ora so come risolverlo. Sto postando sotto la parte restante di una soluzione seguendo il suggerimento di SarGe per riferimenti futuri.
La questione si riduce a dimostrare$(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$. Supponiamo il contrario. Allora neanche$a,b,c\gt1$, o solo uno di$a,b,c$è maggiore di 1 (diciamo che lo è$a$). Il primo caso è impossibile perché contraddice$ab+bc+ac=1$ovviamente. Per quest'ultimo caso, applicando la disuguaglianza triangolare,$b+c\gt a\gt1$, poi$ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$il che è un controsenso. Così la dimostrazione è completa.
OK prima espandiamo la parentesi
$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$.
Ora lo sappiamo$ab+ac+bc=1$quindi abbiamo effettivamente bisogno$abc+a+b+c+1 \leq 3$o$abc+a+b+c \leq{2}$.
Da$a,b$e$c$formare i lati di un triangolo, lo sappiamo$a \leq b+c$e$b \leq a+c$e$c \leq a+b$.
Ho trovato difficile progredire da qui e mi chiedevo se il risultato fosse effettivamente vero, così ha fatto un esperimento mentale. Diciamo$a,b$e$c$sono tutti uguali a$1/\sqrt{3}$. Questo sarebbe un triangolo equilatero e$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$.
Quindi$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$=
$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$
$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$.
Che deve essere$\leq{4}$
Se$1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$
se$1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$. Che è vero.
Prendiamo un altro caso estremo:$a$e$b$sono appena sotto$1$e$c$è vicino a$0$allora possiamo anche avere$ab+ac+bc=1$. Qui$(a+1)(b+1)(c+1)$sarà anche appena sotto$4$quindi credo che la disuguaglianza sia corretta. Posso dimostrare che abbiamo bisogno$abc+a+b+c \leq{2}$ma non so come farlo in questo momento. Ci penserò su. Ma non abbiamo ancora usato le disuguaglianze triangolari quindi sospetto che siano necessarie.
Non riuscire a finirlo mi sta uccidendo :)
Dobbiamo dimostrare$$abc+a+b+c\leq2$$o$$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$o$$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$e abbiamo finito!
Possiamo ottenere un'ultima fattorizzazione nel modo seguente.
Per$ab+ac+bc=a^2$otteniamo:$$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$e poiché lavoriamo con polinomi simmetrici, abbiamo ottenuto la fattorizzazione necessaria.