Accelerazione in coordinate Rindler

Question

Puoi per favore sottolineare il difetto di base nel seguente ragionamento?

Uso Minkowski $x^\mu$ e le coordinate di Rindler $\xi^\mu$

$$ x^\mu = (t,x) $$

$$ \xi^\mu = (\eta, \rho) $$

$$ x^\mu(\xi) = \rho \, (\sinh\eta, \cosh\eta) $$

$$ (x^1)^2 - (x^0)^2) = \rho^2; \qquad \frac{x^0}{x^1} = \tanh\eta $$

$$ ds^2 = -dt^2 + dx^2 = -\rho^2 \, d\eta^2 + d\rho^2 $$

e la linea del mondo, 2 velocità e 2 accelerazione

$$ x^\mu(\tau) = a^{-1} \; (\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

$$ \dot{x}^\mu(\tau) = (\cosh a\tau, \sinh a\tau) $$

$$ \ddot{x}^\mu(\tau) = a \,(\sinh a\tau, \cosh a\tau) $$

con

$$ \ddot{x}_\mu \ddot{x}^\mu = a^2 $$

Bene.

Trasformando questa linea del mondo in coordinate Rindler si ottiene

$$ \xi^\mu(\tau) = (a\tau, a^{-1}) $$

$$ \dot{\xi}^\mu(\tau) = (a, 0) $$

così - come previsto - questa linea mondiale "siede" a $ \xi^1(\tau) = \text{const.} $

però

$$ \ddot{\xi}^\mu(\tau) = 0 \quad \implies \quad \ddot{\xi}_\mu \ddot{\xi}^\mu = 0 $$

Dove è finita l'accelerazione?

Answer 1

Ok, devo essere stato cieco.

Nello spazio piatto ma con coordinate curve si deve calcolare l'accelerazione utilizzando

$$ a^\mu = \ddot{\xi}^\mu + \Gamma^\mu_{\kappa\lambda} \dot{\xi}^\kappa \dot{\xi}^\lambda $$

che funziona bene.

Grazie per il suggerimento!