Aiutami a capire le varietà Riemanniane
Capisco le varietà differenziabili e la loro necessità. Grazie alla struttura dell'atlante, possiamo sviluppare un calcolo differenziale su spazi che assomigliano localmente$\mathbb R^n$.
Ora, qual è la necessità di introdurre una metrica sugli spazi tangenti di una varietà liscia (cioè quella che viene chiamata metrica Riemanniana, e una varietà liscia dotata di una metrica Riemanniana è chiamata varietà Riemanniana)? Cosa ci permette di fare e perché dovremmo farlo?
Sento tutto quello che si può fare $\mathbb R^n$può già essere fatto in un collettore regolare utilizzando i grafici delle coordinate. Allora qual è il bisogno di questa struttura extra Riemanniana? Qual è la differenza tra uno spazio metrico (liscio) e una varietà Riemanniana? Perché equipaggiamo una metrica sugli spazi tangenti e non sullo spazio stesso? Qual è l'intuizione alla base di questa struttura?
Forse queste sono domande molto ampie, se necessario, puoi limitarti a ciò che mi interessa davvero: la geodetica, cioè la via continua più breve per andare da un punto A a un punto B. Quando leggo di geodetica, è tutto sulle varietà Riemanniane. Ma non capisco perché? La geodetica ha bisogno solo di una nozione di distanza: perché allora non lavorare in spazi metrici? Le varietà Riemanniane sono un sottoinsieme di spazi metrici?
Risposte
Se vogliamo parlare di geometria su un collettore liscio$M$, abbiamo bisogno di una struttura aggiuntiva che permetta di determinare
la lunghezza di una curva
l'angolo tra due curve in un punto di intersezione.
Sebbene entrambi i concetti siano ben definiti per le curve in $\mathbb R^n$ (o più in generale per le curve in open $V \subset \mathbb R^n$), è impossibile trasferirli tramite grafici a varietà smussate. Ciò deriva dal fatto che le funzioni di transizione tra i grafici in generale non preservano la lunghezza e gli angoli.
Hai ragione che la lunghezza di una curva può essere definita in base a una metrica su $M$(vedi per esempio qui ), ma questo è impossibile per gli angoli tra due curve.
Date due curve $\gamma_i : (-a_i,a_i) \to \mathbb R^n$ intersecando a $t=0$, l'angolo tra $\gamma_1, \gamma_2$ è generalmente definito come l'angolo $\alpha$ tra i vettori tangenti $v_1 = \gamma'_1(0), v_2 = \gamma'_2(0)$, e questo è determinato tramite il prodotto interno standard su $\mathbb R^n$: $$ \cos \alpha = \dfrac{\langle v_1,v_2 \rangle}{\lVert v_1 \rVert \lVert v_2 \rVert} \tag {1}$$ La lunghezza di una curva $\gamma : [a,b] \to \mathbb R^n$ è dato da $$\int_a^b \lVert \gamma'(t) \rVert dt = \int_a^b \lVert v(t) \rVert dt \tag{2}$$ dove $v(t) = \gamma'(t)$ è il vettore tangente ("vettore velocità") in $\gamma$ alla volta $t$. Questo può essere preso come definizione della lunghezza per curve lisce o come teorema se si lavora con il concetto più generale di curve rettificabili .
In una varietà liscia vettori tangenti a $p \in M$ può essere introdotto come classi di equivalenza delle curve attraverso $p$.
Quindi, curve date $\gamma_i : (-a_i,a_i) \to M$ intersecando a $t=0$ in $p$, l'angolo $\alpha$ fra $\gamma_1, \gamma_2$dovrebbe essere definito come sopra in base a un prodotto interno su$T_pM$: In effetti, il $\gamma_i$ rappresentano vettori tangenti $v_i = [\gamma_i] \in T_p M$ che consente l'uso della formula $(1)$ anche per un generale $M$.
La lunghezza di una curva $\gamma : [a,b] \to M$ è dato da $(2)$ Nella forma $$\int_a^b \lVert v(t) \rVert_{\gamma(t)} dt$$ dove $\lVert - \rVert_p$ è la norma indotta dal prodotto interno acceso $T_pM$ e $v(t)$ è il vettore tangente in $\gamma$ alla volta $t$ che è rappresentato dalla curce $\gamma_t : [a - t, b- t] \to M, \gamma_t(s) = \gamma(s+t)$. Nota che se$t \in [a,b]$, poi $0 \in [a -t, b-t]$ e $\gamma_t(0) = \gamma(t)$
Ora dovresti vedere perché la struttura aggiuntiva dei prodotti interni su tutti gli spazi tangenti $T_pM$(cioè una metrica Riemanniana ) è necessaria per la geometria$M$.