Anello booleano di divisori unitari / Struttura dei divisori unitari?
Spero che questa domanda sia appropriata per MO:
Permettere$n$essere un numero naturale,$U_n := \{ d | d \text{ divides } n, \gcd(d,n/d)=1\}$sia l'insieme dei divisori unitari.
Possiamo fare$U_n$ad un anello booleano:
$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$e$$a \otimes b := \gcd(a,b)$$
Permettere$\Pi(n) := \{ p | p \text{ is prime}, p| n\}$essere l'insieme dei primi divisori di$n$. Possiamo definire una topologia su questo insieme in cui si trovano gli insiemi aperti
$$ \{ \Pi(d) | d \text{ divides } n \}$$
poi$$\Pi(\operatorname{rad}(ab)) = \Pi(a) \cup \Pi(b)$$e$$\Pi(\gcd(a,b)) = \Pi(a) \cap \Pi(b)$$
dove$\operatorname{rad}(x) = \prod_{p|x}p$è il radicale di$x$.
Ad ogni insieme aperto$U$definiamo un numero
$$\operatorname{rad}(U):= \prod_{p \in U}p$$
Gli insiemi aperti costruiscono anche un anello booleano con:
$$U \oplus V := U \Delta V$$dove$\Delta$denota la differenza simmetrica, e$$U \otimes V := U \cap V$$
Quindi$\operatorname{rad}$è un isomorfismo di anelli booleani:
$$\operatorname{rad}(U \oplus V) = \operatorname{rad}(U) \oplus \operatorname{rad}(V)$$ $$\operatorname{rad}(U \otimes V) = \operatorname{rad}(U) \otimes \operatorname{rad}(V)$$Anche$\operatorname{rad}(\emptyset) = 1$, dove$1$è lo zero in$U_{\operatorname{rad}(n)}$e$\operatorname{rad}(\Pi(n)) = \operatorname{rad}(n)$, dove$\operatorname{rad}(n)$è quello dentro$U_{\operatorname{rad}(n)}$.
Inoltre, poiché$k(a,b) = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab} = \frac{1}{a\oplus b}$è una funzione definita positiva sui numeri naturali e una similitudine, possiamo incorporare questo anello booleano$U_n$isometricamente nello spazio euclideo$\mathbb{R}^{2^{\omega(n)}}$(sulla sfera di raggio uno con centro$0$) dove$\omega(n)$conta i divisori primi distinti di$n$e possiamo definire una distanza tra due divisori unitari:
$$ d(a,b) = \sqrt{k(a,a)+k(b,b)-2k(a,b)} = \sqrt{2(1-\frac{1}{a\oplus b})}$$
Anche per tutti$a,b,c \in U_n$noi abbiamo:
$$k(c\oplus a , c \oplus b ) = k(a,b)$$
La mia (soft) domanda è questa:
Serve a qualcosa, forse nella teoria dei numeri? :) Grazie per l'aiuto.
Risposte
Questo è troppo lungo per un commento, quindi scrivo una risposta dopo due anni. :-) Finalmente qualcosa di utile.
Idea: Composizione intera <-> Sottoinsiemi di un insieme finito <-> Anello boleano di divisori unitari
Composizioni intere:https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(combinatorics)
Sagemate:https://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/composition.html
Le composizioni intere potrebbero essere utili nella composizione/musica algoritmica per la manipolazione delle durate in una battuta:
(Ad esempio: si potrebbe misurare con i vicini più vicini quanto sono lontane / vicine due barre dalla prospettiva delle durate (/ composizioni intere) usando il kernel sopra.)
Composizione algoritmica:
Ad ogni battuta associare alle durate della battuta la composizione di un numero intero.
Per esempio:
Durations of bar: 1/4,1/4,1/8,1/8,1/4
composition of the integer n=8: 2, 2, 1 , 1 , 2 ( 2+2+1+1+2 = 8)
subset of {1,2,..,n-1} : {2,4,5,6}
unitary divisors of P_{n-1} = 2*3*...*p_{n-1}: 3*7*11*13 = 3003
Nel caso in cui sia necessario calcolare un'incorporamento diretto (senza richiedere di calcolare la costosa decomposizione di Cholesky) di questi vettori di caratteristiche, ecco un esempio di come farlo:
Permettere$e_d$essere il$d$-esimo vettore in base standard nello spazio di Hilbert$H=l_2(\mathbb{N})$. Permettere$h(n) = J_2(n)$sia la seconda funzione toziente di Jordan. Definire:
$$\phi(n) = \frac{1}{n} \sum_{d|n}\sqrt{h(d)} e_d$$.
Poi abbiamo:
$$ \left < \phi(a),\phi(b) \right > = \frac{\gcd(a,b)^2}{ab}=:k(a,b)$$
I vettori$\phi(a_i)$sono linearmente indipendenti per ogni insieme finito$a_1,\cdots,a_n$di numeri naturali, poiché
$$\det(G_n) = \prod_{i=1}^n \frac{h(a_i)}{a_i^2} $$non è zero, dove$G_n$denota la matrice Gram.
Ecco un codice sagemath che fa la traduzione tra divisori unitari dei numeri primoriali e composizioni intere:
Sage Cell Server con codice