Applicazione dell'interesse composto e delle medie ponderate
Domanda: Bob investe una certa somma di denaro in uno schema con un rendimento del 22% annuo. Dopo un anno, ritira l'intero importo (compresi gli interessi maturati) e lo investe in un nuovo schema con rendimenti del 50% annuo (composto annualmente) per i due anni successivi. Qual è il rendimento annuo composto del suo investimento iniziale nel periodo di 3 anni?
La risposta a questo problema è abbastanza semplice se si assume che l'investimento iniziale sia diciamo \$100 then calculate interest for 1st year at 22% then 2nd and 3rd year at 50% which would come out as \$274,5
Quindi il rendimento è \ $ 174,5 in 3 anni, utilizzando la formula dell'interesse composto, ottieni un tasso di interesse di circa il 40% per tre anni.
La mia domanda è: puoi saltare tutto questo lungo processo e utilizzare le medie ponderate per trovare la risposta finale? $$ Tasso\ medio\ di\ interesse = \frac{1 * 22 + 2 * 50}{1 + 2} \circa 40,67\% $$
La risposta con questo è dello 0,67%, non importa molto. Tuttavia, utilizzare le medie ponderate è un approccio corretto o sto ottenendo la risposta corretta utilizzando un approccio sbagliato?
Nota: l'obiettivo di porre questa domanda è decidere un approccio più rapido a questo problema e non ottenere necessariamente la risposta finale. Se hai un approccio più veloce delle medie ponderate (supponendo che sia corretto), non esitare a pubblicarlo come risposta.
Risposte
Le medie ponderate a non sono l'approccio corretto. Qui è necessario calcolare il$\underline{\text{compounded}}$rendimento annuale. Dopo un periodo guadagni interessi per l'investimento iniziale ($C_0$). Pertanto dopo questo periodo l'investimento iniziale aumenta a$C_1=(1+i_1)\cdot C_0$, dove$i_k$è il tasso di interesse del periodo k-esimo. E dopo n periodi la crescita dell'investimento$C_n=C_0\cdot \prod\limits_{k=1}^n (1+i_k)$. E il fattore di crescita dopo$n$periodi è
$$g(n)=\frac{C_0\cdot \prod\limits_{k=1}^n (1+i_k)}{C_0}=\prod\limits_{k=1}^n (1+i_k)$$
Per calcolare il tasso di crescita medio dobbiamo prendere la n-esima radice di$g(n)$e poi sottrai 1. In altre parole, ottieni il rendimento annuo composto. Se hai una calcolatrice non è difficile ottenere il risultato. Devi solo inserire$\left((1+i_1)\cdot (1+i_2)\cdot (1+i_3)\right)^{\frac13}$
È solo fortuna che esce così vicino. Se i rendimenti sono piccoli, quindi l'effetto della capitalizzazione è piccolo al quadrato, sarà abbastanza accurato utilizzare la media ponderata. Ma lascia che siano i ritorni$1000\%$per un anno e$100\%$per il secondo anno. Se ha iniziato con$1$ora ha$22$, quindi il rendimento composto è$\sqrt {22} -1 \approx 369\%$all'anno mentre la media è$550\%$