Autovalori e spazio nullo
Vorrei capire meglio le relazioni tra lo spazio nullo e gli autovalori di una matrice.
Prima di tutto, sappiamo che un file $n \times n$ matrix avrà $n$ autovalori, sebbene gli autovalori possano essere complessi e ripetuti.
Successivamente, sappiamo che se $A$ ha l'autovalore 0, quindi l'autovettore corrispondente è nello spazio nullo $N(A)$, da $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Ciò implica che tutti gli autovettori che corrispondono all'autovalore 0 si estendono esattamente$N(A)$.
Usando le due conclusioni sopra menzionate, e supponiamo di avere un file $n \times n$ matrice con rango $r$, ora sappiamo che la dimensione dello spazio nullo è $n-r$. Da ciò possiamo concludere che almeno ci saranno $n-r$autovalori uguali a 0? ed esatto $n-r$ autovettori indipendenti per coprire lo spazio nullo?
Risposte
Se $A$ ha il rango pieno, quindi la dimensione dello spazio nullo è esattamente $0$.
Ora se $A_{n×n}$ ha rango $r\lt n $, quindi la dimensione dello spazio nullo $=(n-r)$. Questo$(n-r)$sarà la molteplicità geometrica dell'autovalore$0$.
Ma lo sappiamo, molteplicità algebrica $\ge$ molteplicità geometrica .
Quindi, molteplicità algebrica degli autovalori $0$ dovrebbe essere almeno $(n-r)$. Ciò significa che almeno ci saranno$(n-r)$ numeri di $0$come gli autovalori di $A$.
E, poiché molteplicità geometrica di un autovalore $=$ il numero di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti a quell'autovalore, possiamo concludere che ci sono esattamente $(n-r)$ numeri di autovettori linearmente indipendenti corrispondenti all'autovalore $0$.
Data una matrice $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:
Un vettore $x$ è un autovettore di $A$ Se $Ax = \lambda x$ dove $\lambda$ è l'autovalore.
Il kernel (spazio nullo) di $A$ è il set $\{v | Av=0\}$, cioè tutti $v$ che hanno un autovalore $0$.
L'autospazio, $E_{\lambda}$, è lo spazio nullo di $A-\lambda I$, cioè $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Nota che lo spazio nullo è solo$E_{0}$.
La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione di $E_{\lambda}$, (anche il numero di autovettori indipendenti con autovalore $\lambda$ quella durata $E_{\lambda}$)
La molteplicità algebrica di un autovalore $\lambda$ è il numero di volte $\lambda$ appare come una radice di $det(A-x I)$.
molteplicità algebrica $\geq $ molteplicità geometrica.
Considera il seguente esempio, $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Poi $n = 2$ e il grado di $rank(A) = 1$. Il$det(A-x I) = x^{2}$ e le radici sono $x = \{0,0\}$. Vediamo che l'autovalore$0$ ha molteplicità algebrica $2$. Ma la molteplicità geometrica è la dimensione di$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ che è $1$. Quindi da questo esempio lo vediamo$n-r = 1$, che è uguale alla molteplicità geometrica di $\lambda = 0$.
Pertanto, lo concludiamo $\lambda = 0$ avrà una molteplicità algebrica di almeno $n−r$ e una molteplicità geometrica di $n−r$. Ciò è evidente dalla definizione di rango e molteplicità geometrica.