Avvicinarsi alla fisica utilizzando l'analisi ordinaria piuttosto che l'analisi non standard

Aug 16 2020

Per quanto ne so, in fisica, il calcolo viene affrontato utilizzando un'analisi non standard in cui $dx$, $dy$, ecc. (infinitesimali) sono trattati come quantità fisse, estremamente piccole piuttosto che l'approccio di analisi standard che utilizza limiti in cui sono trattati come qualcosa che si avvicina $0$.

Capisco che l'approccio non standard sia molto intuitivo e facile da capire. In effetti, avevo fatto il calcolo tramite l'approccio non standard fino a pochi giorni fa, quando mi sono imbattuto nelle domande filosofiche relative agli infinitesimi. Sono rimasto estremamente confuso a causa di questo approccio e quando mi sono avvicinato al calcolo usando i limiti, mi sono sentito come se avessi raggiunto un livello completamente nuovo di comprensione e chiarezza concettuale.

Ora, in fisica, per una funzione $f$, $f'(x)$ o $\dfrac{df}{dx}$ viene interpretato come il tasso di variazione di $f(x)$ con una piccolissima modifica $x$, ie $dx$. Viene anche interpretato come approssimativamente la pendenza della tangente alla curva di$f$ a $(x,f(x))$. Questo approccio e l'intuizione geometrica vengono utilizzati anche per derivare il teorema fondamentale del calcolo che afferma che se$F(a)$ fornisce l'area sotto la curva di $f(x)$ a partire dal $x = 0$ per $x = a$, ie $$F(a) = \int_0^a f(x)dx$$ Poi, $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^bf(x)dx - \int_0^af(x)dx = F(b) - F(a) = F(x)\Bigg|_a^b$$ dove : $$F'(x) \text{ or } \dfrac{dF}{dx} = f(x)$$ L'approccio non standard viene utilizzato anche per derivare alcune formule come quella del lavoro che è derivata come segue:

  • Per uno spostamento infinitesimale $dx$, il lavoro infinitesimale fatto ie $dW$ è $F_2(x)\cdot dx$
  • La quantità totale di lavoro svolto, ovvero $W$, è $\int_a^bF_2(x)\cdot dx$ (Nota: qui, $F_2(x)$ denota la forza sperimentata dalla particella in posizione $(x)$. Ad esempio, se parliamo di forza elettrostatica,$F_2(x) = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0x^2}$.)

Quindi, fondamentalmente, la maggior parte del calcolo utilizzato in fisica viene affrontato utilizzando infinitesimali e analisi non standard.

Ma l'analisi standard mi sembra molto più rigorosa e ha molto più senso. Ho chiesto ad alcuni amici che hanno chiesto ai loro insegnanti come si può usare l'analisi standard in fisica invece dell'analisi non standard, ma nessuno degli insegnanti sembrava preoccuparsi.

Quindi, mi piacerebbe sapere come posso avvicinarmi alla fisica tramite l'analisi standard.

PS: Sono attualmente in 10 ° grado e ho coperto solo le basi dell'11 ° grado ancora. Sarebbe apprezzata una risposta che posso comprendere con poca conoscenza della matematica avanzata.


Edit: sono molto grato per le due risposte che ho già ricevuto. Ho ritenuto avventatamente che l'analisi non standard e l'uso euristico di infinitesimi fossero la stessa cosa, ma non è il caso, come sottolineato dagli utenti Qmechanic e PM 2Ring . Vorrei chiarire che ogni volta che ho usato il termine "analisi non standard", mi riferivo in realtà al trattamento di$dy$, $dx$, ecc. come numeri effettivi, molto piccoli e di $\dfrac{dy}{dx}$ come rapporto ...

Risposte

14 ACuriousMind Aug 16 2020 at 01:40

Quindi, fondamentalmente, la maggior parte del calcolo utilizzato in fisica viene affrontato utilizzando infinitesimi e analisi non standard.

Questa premessa non è vera. Mentre gli argomenti della fisica sugli infinitesimi possono assomigliare agli argomenti tipici dell '"analisi non standard", la fisica elementare di solito non opera a livelli di rigore in cui è possibile decidere chiaramente se si sta utilizzando o meno un'analisi non standard. La fisica non è interessata alle questioni fondamentali dell'analisi, e ad esempio la derivata di una funzione è un'approssimazione della sua pendenza indipendentemente dal fondamento che stai utilizzando (potrebbe essere più o meno lavoro derivarlo a seconda delle tue fondamenta, ma è comunque sempre vero).

Se stai cercando il rigore, c'è spesso un'interpretazione altrettanto valida degli "infinitesimi" fisici in termini di forme differenziali standard , ad es.$\mathrm{d}W = F(x)\mathrm{d}x$ è semplicemente la definizione di un modulo 1 chiamato $\mathrm{d}W$, il cui integrale sui percorsi $\gamma$ è definito come il lavoro $W[\gamma] = \int_\gamma \mathrm{d}W$ lungo il cammino.

3 user272406 Aug 16 2020 at 01:39

Non c'è differenza di rigore tra NSA e analisi standard. (In termini di teoria dei modelli, sono equiconsistenti.) Tuttavia, la maggior parte del calcolo infinitesimale che si vede negli articoli e nei libri di fisica avrebbe bisogno di essere rielaborato o elaborato leggermente per essere trasformato in NSA.

In genere è banale tradurre avanti e indietro tra le due lingue. Scienziati e ingegneri dovrebbero essere fluenti in entrambi.