Campo frazione di $\mathbb Z_p[[X]]$

Aug 19 2020

Sappiamo che il campo frazione $F:=\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$è strettamente contenuto nel campo delle serie di potenze Laurent$\mathbb Q_p((X))$, grazie a questo risultato di Gilmer. Quindi la mia domanda è:

È possibile descrivere esplicitamente gli elementi di $F$?

Alcune domande simili sono già state poste qui o su Mathoverflow. Forse il più rilevante è questo per quanto riguarda il calcolo esplicito del campo della frazione di$\mathbb Z[[X]]$. Qualcuno suggerisce nei commenti della domanda collegata che il problema con$\mathbb Z_p$ (invece di $\mathbb Z$) dovrebbe essere più facile.

Alcune condizioni generali necessarie sono fornite qui quando i coefficienti della serie di potenze si trovano in qualsiasi dominio, ma mi piacerebbe trovare alcune condizioni sufficienti nel caso particolare di$\mathbb Z_p$.

Molte grazie in anticipo

Risposte

3 MaximeRamzi Aug 19 2020 at 16:52

Supponi di avere una serie di potenze $\sum_k a_kX^k \in \mathbb Z_p[[X]]$.

Se è diverso da zero, puoi scriverlo come $X^np^m\sum_k b_kX^k$ con $b_0 \notin (p)$.

In particolare, come $\mathbb Z_p$ è locale, $b_0$ è invertibile, e così $\sum_kb_k X^k$ è anche invertibile: devi solo invertire $X^np^k$

In particolare, $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]]) = \mathbb Z_p[[X]] [X^{-1}, p^{-1}]$.

Quindi un elemento $f\in \mathbb Q_p((X))$ è dentro $\operatorname{Frac}(\mathbb Z_p[[X]])$ se e solo se il file $p^n$ nei denominatori sono limitati

(la descrizione sopra mostra il bit "solo se" e per "se": se sono limitati, moltiplicando per $p^k$ per $k$ abbastanza grande ti fa atterrare $\mathbb Z_p((X))$)

Come YCor sottolinea nei commenti alla domanda MO su $\mathbb Z[[X]]$, la domanda è probabilmente più semplice negli anelli locali più in generale, anche se qui ho infatti usato che l'ideale massimo era principale (quindi questo funziona su anelli di valutazione discreti)