Campo residuo del composito di due campi
[Domanda]
So che $K'\cdot K''$ è un'estensione non modificata di $K$ ma non so perché $K'\cdot K''$ hanno un campo residuo $k'$.
è sempre vero che $K_1\cdot K_2$ hanno un campo residuo $k_1 \cdot k_2$? (dove$k_1,k_2$ sono campi residui di $K_1, K_2$)
Penso che se dimostriamo la proposizione 7.50, possiamo usare " $K_1\cdot K_2$ hanno un campo residuo $k_1 \cdot k_2$" in questa situazione.
Tuttavia, non possiamo usare questo fatto mentre proviamo questa proposizione.
Come posso provarlo?
Grazie per l'attenzione.
riferimento (JS Milne's Algebraic Number Theory ) e questo post 1 : Strano ragionamento di estensioni non modificate che hanno gli stessi campi residui sono gli stessi.
Risposte
Per $K/\Bbb{Q}_p$ un'estensione finita quindi $F/K$ è unramified iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ con $p\nmid n$ e $q= |O_F/(\pi_F)|$. Questa è l'applicazione principale del lemma di Hensel.
quando $E/K,E'/K$ sono ramificati quindi non è sempre il caso che il campo residuo di $EE'$ è il campo più piccolo conteneva quelli di $E,E'$, prova con $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$.
quando $E'/K$ non è quindi modificato $EE'=E(\zeta_{q-1})$ ha un campo residuo $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$.