Centro di un cerchio in coordinate polari
Quindi stavo tentando di risolvere un esercizio di topologia quando mi è venuta la seguente domanda.
L'obiettivo era cercare di multare una biiezione$f$tra i seguenti dischi in$\Bbb R^2$:
$$D_1 :=\{(x,y)\in \Bbb R^2: x^2 + y^2 \leq1\}$$ $$D_2 :=\{(x,y)\in \Bbb R^2: x^2 + y^2 \leq 4\}$$
Così$D_1$è un disco di raggio$1$centrato nell'origine, e$D_2$è un disco di raggio$2$centrato all'origine.
La prima cosa che mi è venuta in mente è stata usare le coordinate polari, quindi ridefiniamo entrambi i dischi come:
$$D_1 :=\{(r,\varphi): r\in [0,1] \wedge \varphi \in [0,2\pi]\}$$ $$D_2 :=\{(r,\varphi): r\in [0,2] \wedge \varphi \in [0,2\pi]\}$$
Ora possiamo semplicemente ridimensionare il disco 1 nel disco 2:
$$f:D_1\to D_2$$ $$f(r,\varphi)=(2r,\varphi)$$
La mia domanda sull'iniettività di questa funzione, più concretamente al centro dei dischi.
Permettere$\varphi_1,\varphi_2 \in [0,2\pi]$, insieme a$\varphi_1 \neq \varphi_2$. Allora come trattiamo i punti come$(0,\varphi_1)$e$(0,\varphi_2)$. Nel disco rappresentano lo stesso punto: il centro del disco. Ma, imparando a conoscere i doppi integrali con coordinate polari, il mio insegnante ci ha insegnato che quando usiamo le coordinate polari per descrivere un disco stiamo solo definendo un rettangolo nel$rO\varphi$aereo, invece che nel$xOy$aereo:
E tutti i punti del modulo$(0,\varphi)$sono in quella linea in$\varphi-$asse e sono davvero punti diversi.
Quindi come trattiamo i punti con questo modulo? Sono considerati tutti lo stesso punto e quindi$(0,\varphi_1) = (0,\varphi_2)$? Oppure sono considerati punti diversi come si vede nel$rO\varphi$aereo?
Risposte
La tua funzione è semplicemente$(x,y)\mapsto2(x,y)$, e quindi è iniettiva (anzi, biiettiva).
Per quanto riguarda le tue domande finali, tutte le coppie$(0,\varphi_1)$, insieme a$\varphi\in[0,2\pi]$, descrivono lo stesso punto (l'origine), e quindi non ci sono problemi lì.
Il modo corretto per definire le coordinate polari è usare il dominio$r > 0$,$\varphi$in$(0, 2\pi)$cosicché la trasformazione tra coordinate cartesiane e polari è un diffeomorfismo (ha un inverso differenziabile).