Chiarimento della soluzione sommatoria

Aug 18 2020

Stavo leggendo una soluzione per un problema e affermava questo: $$\sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \left( \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \frac{a_2}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} + \dots + \frac{a_7}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}} \right) = 7 \sum_{a_1 = 0}^\infty \sum_{a_2 = 0}^\infty \dotsb \sum_{a_7 = 0}^\infty \frac{a_1}{3^{a_1 + a_2 + \dots + a_7}}.$$Ho una vaga idea del perché sia ​​vero, probabilmente è più un'intuizione a essere onesti, ma non capisco completamente. Qualcuno può chiarire? Grazie in anticipo.

Risposte

1 MarkusScheuer Aug 20 2020 at 02:31

Per vedere cosa sta succedendo è sufficiente considerare la doppia serie. Supponendo che le serie siano assolutamente convergenti, otteniamo

\begin{align*} \color{blue}{\sum_{a_1=0}^{\infty}}\color{blue}{\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1+a_2}{3^{a_1+a_2}}} &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_2}{3^{a_1+a_2}}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_2=0}^{\infty}\sum_{a_1=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_2+a_1}}\tag{1}\\ &=\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}+\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=2\sum_{a_1=0}^{\infty}\sum_{a_2=0}^{\infty}\frac{a_1}{3^{a_1+a_2}}} \end{align*}

Commento:

  • In (1) rinominiamo nella doppia serie più a destra $a_1$ con $a_2$ e $a_2$ con $a_1$.

  • In (2) lo riordiniamo.