Chiarimento su Ogni spazio metrico separabile ha una base numerabile
Dimostra che ogni spazio metrico separabile (diciamo X) ha una base numerabile. (Suggerimento: prendi tutti i quartieri con raggio razionale e centro in qualche sottoinsieme denso numerabile di X).
La mia domanda è: è necessario prendere un raggio razionale? Voglio dire, poiché è dato che X è separabile, quindi ha un insieme denso numerabile. Per creare la base useremo il suddetto sottoinsieme numerabile denso e possiamo considerare una palla con il centro dal sottoinsieme, quindi il no. di palline saranno comunque numerabili. Non vedo perché abbiamo bisogno di un raggio razionale. Si prega di chiarire questo.
Risposte
Prendere solo una palla intorno a ogni punto del sottoinsieme denso non darebbe una base. Se permetteste che il raggio sia arbitrario, allora ci sarebbero innumerevoli quartieri in generale. Prendendo le palline con raggio razionale si ottiene una base numerabile. È possibile utilizzare qualsiasi insieme numerabile di raggi diversi da zero a condizione che, per ogni$\epsilon > 0$, includi una palla con raggio inferiore a $\epsilon$. Ad esempio, potresti semplicemente prendere le palline con raggio,$1/n$ per $n = 1, 2, \ldots$.