Chiuso $[a,b]⊆\mathbb{R}$ non è un'unione numerabile di $≥2$ intervalli chiusi disgiunti?

Question

Mostra che nella riga reale gli intervalli chiusi non possono essere scritti come un'unione di intervalli chiusi disgiunti numerabili.

Onestamente non vedo come dimostrarlo. Se è stato detto che su un insieme chiuso conosco parte dell'esempio e anche l'insieme di Cantor è un buon esempio, ma non trovo alcun esempio per mostrare che un intervallo chiuso non può essere scritto come un'unione di intervalli chiusi disgiunti numerabili. Anche se se considero la rappresentazione banale per insiemi singletone, posso vedere che è innumerevole ma soddisfa date altre proprietà. Ma non conosco nessun esempio. Quindi voglio aiuto. Grazie.

Answer 1

Permettere $I$ essere un intervallo chiuso della linea reale, e assumerlo per contraddizione $I$ è l'unione di una collezione $\mathcal F=\{F_1,F_2,\dots\}$di non vuoti chiusi disgiunti insiemi (non necessariamente intervalli) che presenta almeno due elementi ed è al massimo numerabile.

Lemma. C'è un intervallo chiuso$I_1\subseteq I$ che è disgiunto da $F_1$ e soddisfa almeno due elementi di $\mathcal F$.

Prova. Scegli un punto$a\in F_2$, e lascia $b$ essere un punto in $F_1$ più vicino a $a$. Senza perdere di generalità, supponi$a\lt b$; poi$(a,b)\subseteq I\setminus F_1$. Da$F_2$ è chiuso e $b\notin F_2$, $(a,b)\not\subseteq F_2$. Scegli un punto$c\in(a,b)\setminus F_2$. Poi l'intervallo chiuso$I_1=[a,c]$ è disgiunto da $F_1$ e soddisfa almeno due elementi di $\mathcal F$.

Con l'uso ripetuto del lemma possiamo ottenere una sequenza $I\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots$ la cui intersezione è disgiunta da ogni elemento $F_n$ di $\mathcal F$. Poiché l'intersezione non è vuota per il teorema degli intervalli annidati, questa è una contraddizione.

Corollario. Uno spazio topologico connesso in modo percorso non ammette una partizione non banale in numerosi insiemi chiusi.