Classificazione delle funzioni olomorfe sul semipiano destro con determinate condizioni

Aug 17 2020

Il seguente problema deriva da un vecchio esame preliminare di analisi complessa:

Determina tutte le funzioni analitiche$f: H \rightarrow \mathbb{C}$sul semipiano$H : = \{ z\in \mathbb{C} : \Re(z) > 0 \}$che soddisfano$f(\sqrt{n}) = n$e$|f^{(n)}(1)| \leq 3$per tutti i numeri interi positivi$n$.

Chiaramente$f(z) = z^2$soddisfa questo, e desidero dimostrare che questo è l'unico esempio. Notare che$f(z) = z^2 + \epsilon \sin(\pi z^2)$non soddisfano la derivata vincolata per any$\epsilon > 0$. Inoltre, il derivato associato implica che tale$f$è analitico e sub-esponenziale con ordine 1. Posso applicare il teorema di Carlson per dimostrarlo$h(z): =f(z) - z^2$è esattamente zero, ma sembra un martello molto pesante da usare per un problema preliminare.

Qualsiasi guida su una dimostrazione più semplice sarebbe molto apprezzata!

Risposte

1 Conrad Aug 17 2020 at 20:34

Permettere$g(z)=f(z+1)-(z+1)^2, g(0)=0$; da$|g^{(n)}(0)| \le 3, n \ge 3$lo capiamo$g$originariamente definito il$\Re z >-1$si estende a un'intera funzione che soddisfa$|g(z)| \le 3e^{|z|}+|z+1|^2, g(\sqrt n-1)=0, n \ge 1$.

Assumere$g$diverso da zero e$k \ge 1$l'ordine dello zero di$g$a$0$. Allora se$M_g(R)= \max_{|z|=R}|g(z)| \le 4e^R, R \ge R_0$il numero$N(R) \ge [R^2]$di zeri di$g$insieme a$|z|\le R$soddisfa (dal teorema di Jensen):

$\int_0^R \frac{N(t)-k}{t}dt+k \log R+\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log |g(Re^{it})|dt$

quindi con semplici maggiorazioni usando$N(t)-k \ge [t^2]-1 \ge (t/2)^2, t \ge 10$, si ottiene:

$R^2/8-M \le LHS \le \log 4 + R, R \ge R_0$per qualche costante$M$che incorpora l'integrale su LHS da$0$dire$10$e$\log |\frac{g^{(k)}(0)}{k!}|$, quindi otteniamo una contraddizione per grande$R$