Come calcolare il prodotto tazza di limiti derivati / coomologia presheaf
Ho una categoria finita $\mathcal{C}$, insieme a un funtore $F \colon \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{GradedCommRings}$. Se$F_j$ è $j$-th classificato pezzo di $F$, poi scrivo $H^i(\mathcal{C},F_j)$ per il $i$-esimo limite inverso derivato del diagramma $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ab}$di gruppi abeliani. Allo stesso modo, è il file$i$-th coomologia covone del covone $F_j$, dove considero $\mathcal{C}$ come il sito con banale topologia Grothendieck.
Ho calcolato i vari $H^i(\mathcal{C},F_j)$. Assemblandoli, dovrebbe esserci una struttura del prodotto a tazza$H^i(\mathcal{C},F_j) \otimes H^{i'}(\mathcal{C},F_{j'}) \to H^{i+i'}(\mathcal{C},F_{j + j'})$. Vorrei calcolare questa struttura del prodotto.
L'unico metodo di cui sono a conoscenza è attraverso la coomologia del fascio, che coinvolge risoluzioni esplicite, prodotti tensoriali e complessi totali (vedi [1]). Purtroppo non ho una risoluzione esplicita di$F$ o $F \otimes F$: sembra troppo complicato da fare a mano, soprattutto perché il mio $F(c)$sono tipicamente generati all'infinito. (Nel mio calcolo di$H^i(\mathcal{C},F_j)$ Ho aggirato questo problema utilizzando sequenze spettrali ma queste oscurano la struttura del prodotto.)
Sono portato alle seguenti domande:
- Qualcuno conosce un metodo più efficiente per il calcolo dei prodotti in tazza di coomologia prefabbricata / limiti derivati?
- In caso contrario, esiste un software per computer che potrebbe essere in grado di assumere alcune delle attività descritte sopra?
[1]: RD Swan. Prodotti a coppa in coomologia a covone, iniettori puri e sostituti delle risoluzioni proiettive.
Risposte
I prodotti Cup in coomologia a fascio (e presheaf) sono spesso facili da calcolare risolvendo l'origine (nella struttura del modello proiettivo, diciamo), non l'obiettivo. Per un esempio di risoluzione della fonte in questo modo, vedere l'accoppiamento di Yoneda, l'ipercoomologia e il prodotto in tazza
Nel caso in esame, si può dotare la categoria dei presheave dei complessi di catena su C di una struttura di modello proiettiva. Quest'ultimo ha un funtore sostitutivo cofibrante esplicito, che può essere utilizzato per scrivere una risoluzione proiettiva esplicita. Il funtore sostitutivo cofibrante è precisamente la classica costruzione a barra applicata all'aggiunta tra i presheaves di complessi di catene su complessi di catene con indice C e Ob (C).