Come convincermi (immagina) che $\Bbb S^1$-azione su $\Bbb S^3$ fissa un cerchio di sfera?
Come convincermi (immagina) che $\Bbb S^1$-azione su $\Bbb S^3$ fissa un cerchio di sfera?
A causa di questo commento di Jason DeVito , è facile vedere quell'azione di$\Bbb S^1$ sopra $\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$ definito da $z*(w_1,w_2)=(zw_1,w_2)$ fissa l'intero cerchio $\{(0,w):|w|=1\}\subset\Bbb S^3\subset \Bbb C^2$. Ma non riesco a immaginarlo, perché l'immagine comune dell'azione nella mia mente è che un'azione circolare è un tipo di rotazione, quindi ha un asse di rotazione e girare attorno a questo asse può fissare al massimo 2 punti. È possibile che l'asse di rotazione non sia una linea?
Ora, come posso pensare geometricamente a questa azione? $z*(w_1,w_2)=(zw_1,\bar zw_2)$.
Modifica: la mia comprensione dell'ultima azione è quella: un lato di$\Bbb S^3$ gira in senso orario e l'altro lato gira in senso antiorario (in un piano diverso dalla prima azione) e queste azioni hanno effetto sul centro della sfera e diventano spaventose e si attorcigliano al centro, come un cilindro se ruotiamo i suoi confini in direzioni diverse diventa nodo in mezzo come una vite.
Risposte
Per me, il modo in cui penso alle rotazioni è una conseguenza del teorema del toro massimo per $\mathrm{SO}(n)$. Vale a dire, dato qualsiasi$A\in \mathrm{SO}(n)$ (cioè, una rotazione di $\mathbb{R}^n$ che risolve $0$), c'è una base di $\mathbb{R}^n$ con la proprietà che in questa base, $A$ consiste in un mucchio di regolari $2$blocchi di rotazione -dimensionali.
Più precisamente, la scrittura $R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$ per la matrice di rotazione in senso antiorario standard, c'è sempre una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$ in quale $A$ assume la forma diagonale del blocco $$A=\begin{cases} \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{n/2})\Big) & n \text{ even}\\ \operatorname{diag}\Big(R(\theta_1), R(\theta_2),..., R(\theta_{(n-1)/2},1)\Big) & n \text{ odd}\end{cases}.$$
Ciò indica che le rotazioni sono fondamentalmente idee bidimensionali che vengono poi avviate a dimensioni superiori. In effetti, fornisce una ricetta per costruire tutte le rotazioni di$\mathbb{R}^n$: Scegli uno qualsiasi $2$-pianta e ruotalo un po '. Nel complemento ortogonale, scegli uno qualsiasi$2$-pianta e ruotalo. Nel complemento ortogonale di questi due$2$-aerei, scegli uno qualsiasi $2$-pianalo e ruotalo, ecc.
Pensando a $\mathbb{R}^3$ per un momento, una rotazione nel file $xy$-piano non cambia la distanza da un punto in $xy$ aereo in qualsiasi punto del $z$-asse. In effetti, una rotazione nel file$xy$ aereo non ha alcun effetto su $z$asse. La scomposizione di cui sopra indica che questa idea si propaga a dimensioni superiori. Ad esempio, in$\mathbb{R}^4$ (con coordinate, diciamo, $(x,y,z,t)$) una rotazione in $xy$ piano non cambia la distanza da un punto in $xy$ piano fino a un punto in $zt$ aereo.
Questo è il motivo per cui, ad esempio, la tua azione su $\Bbb S^3$può ruotare due cose in direzioni opposte. È difficile da visualizzare, ma una rotazione nel file$xy$-plane non ha alcun effetto su $zt$-piano, quindi nessuna "torsione" di $\Bbb S^3$ si verifica nella tua azione.
D'altra parte, per la tua azione del cilindro, nota che la tua azione non è una rotazione di $\mathbb{R}^3$limitato al cilindro, quindi nessuna delle precedenti si applica. In effetti, non definirei una rotazione la tua azione sul cilindro. È una rotazione su ogni componente di confine, ma chissà cosa c'è nel mezzo!
Non ci si aspetterebbe una rotazione in $\mathbb C^2 \approx \mathbb R^4$ avere un "asse di rotazione" che è una linea, cioè qualcosa di dimensione reale $1$. D'altra parte, ci si aspetterebbe che l '"asse di rotazione" abbia una codimensione reale$2$, cosa che fa: l'intero aereo $w_1=0$è aggiustato. E quando intersechi quell'aereo con$S^3$ ottieni un cerchio che è fisso.
Se vuoi visualizzare questo esempio, puoi farlo usando il fatto che $S^3$ è la compattazione in un punto di $\mathbb R^3$, che scriverò come $S^3 = \mathbb R^3 \cup \{\infty\}$. In questo modello, si può visualizzare il cerchio dei punti fissi come il cerchio unitario nel$x,y$-aereo: $$\{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 = 1\} $$ Al di fuori di questo cerchio di punti fissi, ogni altra orbita dell'azione è un cerchio, e si possono visualizzare queste orbite circolari in $\mathbb R^3 \cup \{\infty\}$ utilizzando $(r,\theta,z)$coordinate cilindriche, come segue. Una delle orbite del cerchio è$\text{$z$-axis} \cup \{\infty\}$. Quindi, per ogni angolo costante$\theta_0$, il mezzo aereo $\theta = \theta_0$ perfora il cerchio fisso nel punto singolo $P(\theta_0)$ con coordinate $(r,\theta,z)=(1,\theta_0,0)$, il bordo limite di quel semipiano è il $z$-asse che è un'orbita, e il resto del semipiano è foliato da una famiglia di orbite circolari che si avvicinano a quel singolo punto in una direzione diventando sempre più piccole, e che si avvicinano al $z$-asse nell'altra direzione che diventa sempre più grande (nella metrica iperbolica $\frac{dr^2+dz^2}{r^2}$ su questo semipiano, questi sono i cerchi concentrici centrati $P(\theta_0)$).