Come fa $\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$ seguire dal monotono teorema di convergenza?

Aug 19 2020

Nell'analisi reale e complessa di Rudin, afferma che l'uguaglianza

$$\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}$$

per $a_{i,j} \ge 0$ segue da questo corollario del teorema di convergenza monotono (tramite misura di conteggio su un insieme numerabile):

Se $f_n: X \to [0, \infty]$ è misurabile e $f = \sum f_n$, poi

$$\int_X f =\sum_{n=1}^\infty \int_X fn $$

Tuttavia, sto avendo difficoltà a vederlo. Immagino che tu usi le funzioni indicatore per ogni punto dell'insieme numerabile, ma non vedo alcuna manipolazione ovvia per renderlo vero. Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Risposte

2 KaviRamaMurthy Aug 20 2020 at 05:21

Permettere $X=\mathbb N$ e $S$ essere l'insieme di potere di $X$. Permettere$\mu$ essere la misura di conteggio su $X$. [$\mu(E)$ è il numero di punti di $E$ che è considerato essere $+\infty$ Se $E$ è un insieme infinito].

Per qualsiasi funzione $g: X \to [0,\infty)$ noi abbiamo $\int g d\mu= \sum\limits_{k=1}^{\infty} g(k)$.

Adesso prendi $f_n(j)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}$. Poi$f_n$ aumenta alla funzione $f$ definito da $f(j)=\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$. Quindi$\int f_n d\mu \to \int f d\mu$. Questo da$\lim_n \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{\infty} a_{ij}=\lim_n \sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{n} a_{ij}=\lim_n \int f_n d\mu=\int f d\mu=\sum\limits_{j=1}^{\infty} \sum\limits_{i=1}^{\infty} a_{ij}$.