Come posso ricostruire un set Julia da una data immagine?
Fondamentalmente, ho due immagini dei set di Julia che mi sono piaciute di più da una query su Google
Voglio
- Per poter produrre immagini simili, per questo ho bisogno almeno di una tavolozza di queste immagini.
- Conoscere il parametro $c$ per ciascuna di queste immagini (per il processo $z\to z^2+c$, producendo set di Julia).
Come vengono spesso prodotte tali immagini: per ogni punto calcoliamo il numero $n$ di iterazioni $z_{k+1}=z_k^2+c,\ z_0=$(il punto dell'immagine) tale che dopo $n$esima iterazione della sequenza $z_k$ per $k\ge n$sarà non probabilmente tornare al cerchio unitario (per esempio$|z_n|>10$), quindi mappiamo ciascuno $n$a un colore.
Ho sentito parlare di sostituzione$k\ge n$ con $k\ge 2^n$ anche in quanto sopra.
So già che vengono prodotte immagini visivamente più belle $c$essendo vicino al confine del set di Mandelbrot, ma il confine è molto grande per tentativi ed errori. Non sono nemmeno sicuro di poter usare una sorta di minimi quadrati qui, come funzione di errore al quadrato (a seconda di$c$) Credo che non andrà liscio.
Quindi c'è un modo per estrapolare $c$indietro, avendo solo le immagini? Grazie.
Modifica :
come suggerito da Lutz Lehmann, ho provato a cercare a mano. Per la prima immagine (a sinistra) ho ottenuto i punti per gli attrattori a spirale di$z\to z^2+c$: $(292,144),\,(608,362)$ non conoscendo la scala ho ottenuto la pendenza di $\frac{218}{316}$e cercato da quella pendenza (puoi provarlo tu stesso, ho creato uno strumento per questo, scarica semplicemente l'html e aprilo nel tuo browser preferito (firefox completamente testato)).
La cosa che non ottengo qui è la
zampa di questo uccello (nella cornice rossa). Queste cose si trovano vicino$-0.524-0.522i$e sul lato sinistro del bulbo centrato su $\approx -0.503-0.562i$, ma ci sono spirali $5$ braccia a spirale, no $3$ come necessario.
Per la giusta immagine (sicuramente dal bordo del bulbo più grande centrato a $-1+0i$) Non ottengo la pendenza corretta di questi due punti
contrassegnati in rosso e non so nemmeno cosa siano tutti questi punti che guardano gli occhi. Questa è la matrice di tali coordinate di punti, selezionate a mano:
(116, 458), (208, 436), (238, 331), (435, 417), (327, 557), (416, 550), (465, 527), (499, 501), (526, 467), (543, 414), (511, 360), (464, 344), (431, 354), (410, 370), (398, 387), (392, 406), (394, 424), (406, 440), (420, 451), (440, 451), (452, 442), (457, 431), (459, 418), (485, 418), (481, 442), (469, 464), (447, 480), (414, 483), (378, 469), (354, 435), (358, 397), (368, 372), (381, 345), (399, 312), (439, 263), (567, 209), (556, 144), (665, 227), (693, 263), (693, 291), (684, 308), (671, 314), (657, 309), (604, 571), (602, 559), (590, 553), (575, 562), (563, 576), (566, 604), (590, 642), (686, 668), (691, 736), (824, 619), (832, 451), (473, 394), (455, 384), (437, 381), (424, 387), (416, 398), (809, 437), (818, 423), (832, 417), (849, 418), (866, 426), (880, 442), (881, 465), (873, 484), (862, 504), (839, 520), (803, 531), (751, 512), (719, 457), (737, 402), (766, 366), (799, 338), (849, 309), (944, 296), (872, 567), (892, 531), (904, 504), (916, 472), (919, 432), (892, 392), (854, 383), (822, 389), (798, 403), (784, 427), (782, 453), (791, 474), (810, 488), (831, 491), (845, 482), (853, 471), (857, 461), (414, 410), (415, 420), (1052, 549), (1087, 427), (1193, 393), (1187, 445), (120, 417), (1229, 380), (85, 471), (809, 453), (857, 449), (657, 300)
Forse posso ottenere qualcosa come il parametro del vortice delle spirali da loro, ma poi è necessario essere in grado di ottenere il parametro per un arbitrario$c$.
Quindi, probabilmente le immagini più vicine che ottengo per questo momento:
-0.20335400390625002-0.677032470703125i -0.77232373046875-0.121337890625i
-0.542678955078125-0.53106689453125i -0.748584228515625-0.100362353515625i
Aggiornamento : (sull'immagine a sinistra, quella a destra è stata risolta da Claude)
Prima stavo pensando di esibirmi$z\to z^2$ ad alcuni punti caratteristici come attrattori o qualcosa del genere, ma poi è venuta l'idea - perché non esibirsi $z\to z^2$a tutti i punti? Quindi, come per qualsiasi$z$ dal set $z^2+c$ è anche nel set (e al contrario), $z\to z^2$ diventa $z\to z-c$ quindi otteniamo $c$. ))
Per l'immagine a sinistra, ruotata$90^\circ$ $z\to z^2$ Somiglia a questo:
Quindi vediamo che è stato ruotato (ecco perché non sono riuscito a ottenerlo dalla pendenza degli attrattori) e ritagliato. La rotazione non è in alcun modo un problema in coordinate complesse a causa della formula di De Moivre . Ma poi abbiamo il file$c$ solo approssimativamente, ma voglio essere in grado di ottenere l'esatto $c$ per recuperare la tavolozza.
Risposte
La prima immagine può essere uno zoom in una Julia quadratica impostata per$f_c(z) = z^2 + c$ vicino $c = 0.270723273 + 0.575139611 i$, centrato su $0$ con fattore di zoom $5.3$ (fattore di zoom $1$ avrebbe $\pm i$ai bordi superiore e inferiore dell'immagine). L'ho trovato navigando nel set di Mandelbrot. I "piedi d'uccello" hanno$4$ raggi, quindi ho guardato intorno al periodo $4$bulbo attaccato al cardioide principale in alto a destra. Quindi, le spirali centrali hanno$3$ braccia così ho guardato intorno al suo periodo di bambino $12$ lampadina ad angolo interno $\frac{2}{3}$ (in senso antiorario dall'antenna dell'epoca $4$lampadina). Quindi, queste spirali sono piuttosto ricci, quindi ho guardato vicino alla base del componente dove si attacca al suo genitore. Ho guardato sul lato antiorario e sono stato fortunato nella direzione della svolta delle spirali, sarebbero a spirale nell'altra direzione dall'altra parte del punto di legame. Poiché il set Julia è disconnesso, il$c$valore non è Mandelbrot, e ingrandita finché l'immagine abbinato:
La seconda immagine è probabilmente un set di Julia incorporato nel set di Mandelbrot, a causa delle decorazioni (e del nome del file)
Le decorazioni hanno una struttura ramificata a 3 vie, quindi guarda vicino al bulbo 1/3 (risulta che i rami del bulbo 2/3 sono orientati in senso opposto).
I set Julia incorporati si verificano quando si esegue lo zoom vicino a una copia in miniatura di un set di Mandelbrot. La struttura del filamento non sembra niente di speciale, quindi scegli il più grande, il periodo 4 uno nel filamento più lungo. Cercheremo set Julia incorporati nei capelli che lo decorano.
Ora guarda le spirali. 13 passi attorno alla spirale sono gli stessi di 2 passi in direzione radiale, quindi cerca un bulbo bambino q / 13 vicino al bulbo 1/2. Sono andato prima per q = 6 che sembrava ok, le estremità delle spirali nei vicini set Julia incorporati hanno anche le caratteristiche 5 e 6 su di esse prima che il filamento principale si connetta al centro o la spirale successiva.
La lampadina 6/13 ha 13 raggi, non sapendo scegliere meglio quella con i capelli più lunghi. Guardando il centro dell'immagine, ci sono due filamenti che si ramificano nella direzione opposta al resto. Ciò indica che dovremmo ingrandire la parte esterna appiccicosa laterale in qualche modo lungo il filamento. Contare i rami dice quanto lontano.
Guardando il centro dell'immagine, appare con una simmetria 2 volte, non 4 volte come hanno i set Julia incorporati più in alto. Qui non possiamo vedere abbastanza chiaramente a causa della risoluzione dell'immagine, ma forme simili possono essere trovate zoomando verso un centro a spirale, verso un nodo nei filamenti e poi fuori centro su una forma incastonata di Julia incorporata nei suoi capelli.
Mettere tutto questo in pratica dà $$c_0 \approx -0.16016174539934025+1.0375719438634177i$$ anche se molti altri posti nelle vicinanze saranno simili.
Puoi esplorare interattivamente su https://mathr.co.uk/mandelbrot/web/?#!q=-0.16016174539934025+1.0375719438634177i@8e-11 (Non è possibile eseguire lo zoom indietro oltre alla modifica manuale del raggio di visualizzazione.)
Ecco uno screenshot
Potresti usare una rappresentazione del set di Mandelbrot come in
Il mio vecchio codice PostScript per generare questo è incluso nella pagina di descrizione. Con un po 'più di colore e una risoluzione leggermente più alta ma senza coordinate, questo sembra
Le spirali nella seconda immagine sono una caratteristica della trama in $-0.8+0.2i$e vicino ad esso. La connessione di quell'immagine dice che il punto$c$ è all'interno dell'insieme di Mandelbrot, la struttura interna delle spirali è tipica dei punti vicini a un Mandelbulb secondario o più probabilmente terziario.