Come scegliere la misura della martingala nei mercati incompleti
Ehi, so che quando il mercato è incompleto, allora dobbiamo scegliere una misura martingala equivalente (ho sentito parlare di misura martingala Escher Transform, misura martingala correzione media, misura martingala minima entropia). Ma in Bjork "Arbitrage Theory in Continuous Time" è scritto:
Quando si ha a che fare con il prezzo dei derivati in un mercato incompleto, dobbiamo quindi fissare una misura martingala specifica Q, o equivalentemente a λ, e sorge la domanda su come farlo.
Domanda: chi sceglie la misura della martingala?
Risposta: il mercato!
E non lo capisco davvero. Quindi non dobbiamo cercare una misura Martingala equivalente, ma ottenerla calibrando il modello (sotto la misura fisica) ai prezzi correnti delle opzioni?
Risposte
La proprietà di incompletezza dice che ci sono infinite misure martingala che producono un intervallo di prezzi senza arbitraggio. In realtà si deve addebitare un prezzo ragionevole per la copertura parziale (non per la copertura totale) dei rischi e sopportare un rischio residuo, il che implica la selezione di una misura martingala equivalente (EMM) basata su un concetto di "ottimalità".
Includerò le viste Cont e Tankov da "Modellazione finanziaria con processi di prelievo " e "Modellazione finanziaria con processi di salto" .
(Capitolo 10 nel secondo riferimento) "In un mercato completo, esiste un solo modo senza arbitraggio per valutare un'opzione: il valore è definito come il costo della sua replica. Nei mercati reali, così come nei modelli considerati in questo libro, siepi perfette non esistono e le opzioni non sono ridondanti: la nozione di prezzi dalla replica cade a pezzi, non a causa di trading tempo continuo è impossibile in pratica, ma perché ci sono rischi che non si può coprire anche con il commercio a tempo continuo. Così siamo costretti a riconsiderare la copertura nel senso più realistico di approssimare un payoff target con una strategia di trading: bisogna riconoscere che la copertura delle opzioni è un affare rischioso, specificare un modo per misurare questo rischio e poi cercare di minimizzarlo. Diversi modi per misurare il rischio portano quindi a diversi approcci alla copertura: superhedging, massimizzazione dell'utilità e copertura della media varianza sono tra gli approcci discussi in questo capitolo. Ciascuna di queste strategie di copertura ha un costo che può essere calcolato in alcuni casi. Il valore dell'opzione sarà quindi costituito da due parti: il costo della strategia di copertura più un premio per il rischio, richiesto dal venditore dell'opzione per coprire il suo rischio residuo (non rimborsabile). Tratteremo qui la prima componente studiando vari metodi di copertura e relativi costi. L'arbitrage pricing non ha nulla da dire sulla seconda componente che dipende dalle preferenze degli investitori e, in un mercato delle opzioni competitivo, questo premio di rischio può essere portato a zero, soprattutto per le opzioni vanilla ".
@river_rat menziona qui (nei commenti), nel contesto del prezzo di mercato di Heston del rischio di volatilità, che il parametro EMM aggiuntivo potrebbe (dovrebbe) essere utilizzato "nella stabilità dei rapporti di copertura risultanti (che purtroppo di solito è di secondaria importanza) ".