Come si “legge” questa funzione?

Question

Sto cercando di capire una dimostrazione in cui devi creare una funzione iniettiva$g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$($ℕ^ℕ$è l'insieme di tutte le funzioni da$ℕ$a$ℕ$), e il mio libro lo definisce così:

Capisco (ovviamente) la parte che dice$0.101001000..$ma non capisco la formula per$a_n$. Dove si dice "per alcuni$k≥1$"significa che devo definire$k$ prima di applicare quella formula o devo calcolare i valori che cambiano$k$col tempo?

Ho cercato di ottenere lo stesso numero che hanno ottenuto per la funzione di identità (the$0.10100..$) ma non riesco a vedere come l'hanno ottenuto usando la formula:
Usando la funzione di identità$i(n)=n$, insieme a$k=2$la condizione "se$n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$potrebbe diventare$2+f(i(0))+f(i(1))$ma come faccio a sapere quali valori$f(0)$,$f(1)$ecc hanno?

Ragazzi, potreste per favore calcolare quel numero che hanno ottenuto usando la funzione identità usando quella formula?

Grazie!

Answer 1

Molto probabilmente hanno incasinato e usato$i$per due cose totalmente diverse. eg significa per esempio così$i()$è un semplice esempio per$f()$ma hanno usato$i$come indice e come nome di funzione. Cattive persone. Sostituire$i$quando viene utilizzato per nome funzione, identità, riga 4, 8 e 11 con ad esempio$d$e rileggere.

L'espressione per$a_n$è inutile complicato, aggiungendo a una confusione. Dice solo che ci sono$f(0)+f(1)+...+f(m)$zeri più$m$ $1$'s prima di ciascuno$1$nell'espansione. È un'inversione logica che fa sembrare una cosa molto semplice oh così matematica, che è una pratica che puoi trovare in posti molto più seri. Scusa per la tortura.'

$f(0)$,$f(1)$sono i valori di una funzione scelta. Quindi questo paragrafo spiega come mappare una funzione su un numero reale. Significa per qualsiasi funzione creare questa mappatura.

Answer 2

La frase "Come faccio a sapere quali valori$f(0)$,$f(1)$, ecc., hanno?" mostra che c'è qualche malinteso in giro: The$f$ti viene dato . È un "punto" con infinite coordinate$\bigl(f(0)$,$f(1)$,$f(2)$,$\ldots\bigr) $. Ora devi codificare questo punto in una stringa binaria da cui derivano tutte le coordinate$f(i)$può essere recuperato in seguito. Sembra che tu abbia capito l'idea della costruzione come è stata dimostrata nell'esempio.

Il problema ora è trovare una descrizione "matematica" dell'idea costruttiva. La descrizione fornita trasferisce più o meno l'idea, ma si presume che il lettore sappia già cosa sta succedendo. Lo farei nel modo seguente: Dato$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, definire i numeri$n_k$ $(k\geq1)$come segue:$$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$e metti$$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$