Come trovare la somma di questa serie geometrica:$ 3+ \sqrt3 + 1 + …$

Question

Sto cercando di trovare la somma di questa serie geometrica ma non riesco a trovarla:

$ 3+ \sqrt3 + 1 + ...$

La soluzione che ottengo è:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

ma la chiave di risposta mostra:

$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$

Questo esercizio è tratto da un libro intitolato Pre-Calculus in a Nutshell. Potrei risolvere le altre serie geometriche ma questa questio ha radice quadrata e devo aver sbagliato a semplificare.

Ecco i passaggi che ho seguito per trovare la mia soluzione, forse puoi vedere dove va storto?

La somma di una serie geometrica è

$(S) = \frac{a}{1-r}$quando |r| < 1

$3*r=\sqrt{3}$

Perciò:

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$|\frac{3}{\sqrt{3}}|<1 $quindi posso usare quella formula

$a=3$

che mi dà

$S=\frac{3}{1-\sqrt{3}}$

semplificando ottengo:

$S=\frac{3*(1+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}*(1+\sqrt{3})}$

$S=\frac{9+3\sqrt{3}}{1- (-3)}$

Semplificando di più:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

Answer 1

In effetti il ​​rapporto comune non era corretto, dovrebbe esserlo$\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

\begin{align} S &= \frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3} =\frac{3(3+\sqrt3)}2 = \frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2} \end{align}

Modifica: lavoro alternativo:

$$S=\frac{3}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt3-1}=\frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}$$

Answer 2

Hai commesso anche un secondo errore. Nel tuo lavoro$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(-3)$. Ma veramente$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(+3)$.

Ecco un suggerimento con le serie geometriche: quando la serie converge, la sua somma dovrebbe avere lo stesso segno del primo termine ed essere grande più della metà in valore assoluto; quindi se il primo termine fosse$1$la somma potrebbe essere$+3/5$ma no$+2/5$o$-3/5$.