Come trovare un punto più vicino su un vincolo a un dato punto?

Question

(Questo è un problema di calcolo multivariabile, non di algebra lineare)

Trova il punto più vicino al punto $(2,7,8)$ sul vincolo:

$$ 4x + 7y = x+3y+5z$$

E trova la proiezione del vettore $(2,7,8)$ sull'aereo:

$$3x+4y =5z$$

La mia prova:

Ho pensato di usare i moltiplicatori di Lagrange, ma poi sono passato a trovare solo la linea perpendicolare all'aereo (che non sono sicuro se sia una mossa legale):

$g(x,y,z) = 3x + 4y - 5z = 0$

Il vettore perpendicolare all'aereo è $\vec{n} = (3,4,-5)$

e quindi la retta che è perpendicolare al piano e passa per il punto è: $(2,7,8) + t(3,4,-5) = (2+3t, 7+4t, 8-5t)$

E se guardiamo dove interseca il piano (allora deve soddisfare l'equazione del piano):

$ 3(2+3t) + 4(7+4t) -5(8-5t) = 0 \Rightarrow 50t = 6 \Rightarrow t = \frac{3}{25}$

E quindi il punto più vicino è: $(2 + \frac{9}{25}, 7+\frac{12}{25}, 8-\frac{30}{25}) = ( 2.36, 7.48, 7.4)$

Per la proiezione, ho bisogno di trovare $P_w( \vec{(2,7,8)} ) $ e la proiezione sarà: $\vec{(2,7,8)} - P_w( \vec{2,7,8})$ Ma non sono riuscito a trovare $P_w$ Ho pensato che fosse giusto $xy$ componente $(2,7,0)$ e poi neghiamo il vettore $(-2,-7,-8)$ e aggiungili per ottenere: $(0,0, -8)$

Answer 1

Il tuo calcolo del punto più vicino è corretto.

Riguardo alla seconda domanda: se $u$ è un vettore e $v$ è un secondo vettore (entrambi diversi da zero), quindi la proiezione $\operatorname{proj}_v u$ di $u$ su $v$ è dato da

$$\operatorname{proj}_v u = \frac{\langle u, v\rangle}{\|v\|^2} v.$$

Ora, un momento di riflessione rivela che la proiezione di $u$ su un aereo $E$ con il vettore normale $n$ è dato da

$$\operatorname{proj}_E u = u - \operatorname{proj}_n u.$$

(Per immaginarlo, pensa che il piano sia orizzontale. Quindi calcolare la proiezione significa calcolare $u$ meno la componente verticale di $u$. Ciò che rimane quindi è la componente orizzontale. La componente verticale è data esattamente dalla proiezione di$u$ su $n$.)

Collegando i valori dati con $u = (2, 7, 8)^\intercal$ e $n = (3, 4, -5)^\intercal$ finalmente mostra che i risultati sono effettivamente gli stessi:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} - \frac{-6}{50} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 18/50 \\ 7 + 24/50 \\ 8 - 30/50 \end{pmatrix}.$$