Come valutare il doppio integrale su una superficie non chiusa?

Question

Permettere $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ e lascia $S$ sii la superficie $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Se$\hat{n}$ è un'unità normale $S$ e $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Poi $\alpha=?$

Non possiamo applicare il teorema della divergenza di Gauss qui poiché la superficie S non è chiusa. Come procedere allora in questa domanda? Per favore aiuto.

Answer 1

Notare che il limite della superficie è la curva $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Secondo il teorema di Stokes, se due superfici condividono lo stesso confine, l'integrale del ricciolo su entrambe le superfici sarà identico. Cioè

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

con entrambi orientati verso l'alto o verso il basso.

Perché questo rende la vita più facile? Per cominciare, lo Jacobiano tra i$z=0$ aereo e il solito $xy$ coordinate è $1$ (lo Jacobiano di qualsiasi cosa da se stessa a se stessa è $1$) e il vettore normale punta solo in $z$ direction, il che significa che non dobbiamo nemmeno calcolare l'intero ricciolo, solo il file $z$ componente, che è

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Questo ci dà la seguente uguaglianza

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ è una funzione dispari, quindi il suo integrale svanirà sul disco di $x$simmetria. L'unico integrale rimasto è una costante, che ci dà solo l'area della superficie per quella costante:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

Così $\alpha =2$