Completa le teorie del primo ordine

Question

Mentre studiavo una teoria del modello più breve di Hodges, mi sono imbattuto in questa osservazione:

Data una lingua del primo ordine $L$, diciamo che un $L$-teoria $T$è completo se$T$ha modelli e due qualsiasi dei suoi modelli sono equivalenti elementari. [...] il teorema di compattezza implica che qualsiasi teoria completa in$L$ è equivalente (cioè ha gli stessi modelli) a una teoria della forma $\text{Th}(A)$ per alcuni $L$-struttura $A$.

Ora, non vedo come entra in gioco il teorema di compattezza. Perchè ne abbiamo bisogno? Data la definizione di teorie complete, per me è immediato che una teoria completa sia equivalente alla teoria di uno dei suoi modelli. Cosa mi manca?

Grazie!

Answer 1

Questo è davvero un errore. Come dice Nagase, non è presente nel libro di teoria dei modelli originale ("grande"). Il mio sospetto è che Hodges lo abbia aggiunto dopo aver mescolato due nozioni di completezza: "soddisfacente e tutti i modelli sono elementari equivalenti" contro "contiene ogni frase o la sua negazione". Usando quest'ultimo senso di completezza, abbiamo davvero bisogno della compattezza per identificare teorie complete con teorie di strutture.