Composizione di funzioni su un diagramma commutativo: questione di base

Question

Sto cercando di elaborare le categorie per il matematico che lavora e mi sono imbattuto immediatamente in un punto di confusione.

Una composizione di funzioni è commutativa se e solo se$f\circ g = g\circ f$. Ma se in questo diagramma$f:\mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$,$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$, e$h:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}$, il diagramma potrebbe commutare senza la composizione$f\circ g$pendolarismo. L'idea di un diagramma che fa il pendolare è completamente estranea al fatto che la composizione delle sue funzioni (o morfismi, credo) commuti?

Answer 1

La commutatività di un diagramma è la diversa commutatività della composizione . Affermare che il triangolo nella tua immagine commuta è un altro modo di dire$h=g\circ f$.

Per essere più elaborati, si dice che un diagramma commuta se le composizioni lungo qualsiasi percorso dallo stesso inizio alla stessa fine devono essere uguali. Nel tuo triangolo, ci sono due percorsi da cui partire$X$a$Z$: o segui direttamente$X\xrightarrow hZ$, o segui il composito$X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ$. La commutatività afferma che queste sono la stessa cosa, e quindi$h=f\circ g$.

Non sono sicuro che questo sia il motivo per chiamare questa commutatività di un diagramma, ma due morfismi$p,q:A\to A$fare il pendolare tra loro se la piazza$\require{AMScd}$ \begin{CD} A @>p>> A \\ @VqVV @VVqV \\ A @>>p> A \end{CD} commuta come un diagramma (in effetti, questo è solo un altro modo di dire$p\circ q=q\circ p$).

I diagrammi commutativi sono praticamente utili perché possono visualizzare sinteticamente e visivamente diverse uguaglianze di morfismi contemporaneamente. Ad esempio, il diagramma leggermente più grande \begin{CD} A @>t>> B @>u>> C \\ @VvVV @VVwV @VVxV \\ D @>>y> E @>>z> F \end {CD} essendo commutativo esprime tutte le equazioni

• $x\circ u\circ t=z\circ w\circ t=z\circ y\circ v$
• $x\circ u=z\circ w$
• $w\circ t=y\circ v$

Si noti che c'è una certa ridondanza poiché la prima catena di equazioni può essere dedotta dalle ultime due, ma ciò riflette la facilità di dimostrare qui la commutatività dell'intero diagramma osservando che i suoi quadrati componenti commutano entrambi. Tecniche come questa sono utili quando i diagrammi diventano più complessi.