Comprensione di una dimostrazione relativa alla continuità

Aug 17 2020

Supporre che$f:X\to \mathbb{R}$è una funzione continua con$f(y)>0$per alcuni$y\in X$. Ho letto in una prova che dice

Da$f$è continuo, ci sono un quartiere aperto$U$di$y$e un$\delta>0$tale che$f(x)\geq \delta$per$x\in X$.

Non capisco perché esistano, potresti spiegare cosa stava succedendo? Il modo in cui ho quasi capito è:

  1. Da$f$è continua, esiste un insieme aperto$U$contenente$y$tale che$f(x)>0$per tutti$x\in U$. Non riesco a vedere come questo sia raggiunto dalla definizione di continuità ...

  2. Da$f>0$Su$U$per 1), scegliamo$\delta>0$così piccolo che$f(x)\geq \delta$per tutti$x\in U$. È permesso? Se è così, perché?

Risposte

1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55

Prendere$\delta = \frac{f(y)}{2}$. Quindi$(\delta, \infty)$è un insieme aperto. Per definizione di continuità (per uno spazio topologico generale),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$è aperto. E chiaramente per definizione,$y \in U$da$f(y) > f(y) / 2 = \delta$. E per tutti$x \in U$, noi abbiamo$f(x) > \delta$e quindi$f(x) \geq \delta$.