condizione affinché due curve abbiano una tangente comune
Considera le curve $by=x^2+x+\frac{b}{24}$ e $bx=y^2+y+\frac{b}{24}$ se entrambe le curve hanno una tangente comune allora quali valori può assumere b?
ho osservato che entrambe le curve sono inverse l'una dell'altra o sono simmetriche rispetto a $y=x$. La mia intuizione è che questa sia la chiave del problema, ma non sono in grado di andare oltre.
Quindi ho provato a usare la formula generale per tangente a una parabola della forma $(y-f)^2=4a(x-g)$ che è $y-f=m(x-g)+\frac{a}{m}$ ma l'espressione diventa troppo complicata. Alla fine ho provato a disegnare uno schizzo approssimativo per avere un'idea ma devo considerare troppi sottocasi.
Mi sono imbattuto in questo problema in un test fittizio che si aspetta che tu risolva il problema entro 2 minuti, quindi immagino che esista un metodo relativamente semplice per affrontare questo problema. Qualsiasi aiuto sarà apprezzato .
Modifica Sono d'accordo con tutte le risposte fornite di seguito, ma quando ho esaminato la soluzione non ho idea di cosa stiano cercando di fare, capisco come sono arrivati$b=\frac{3}{2} and \frac{2}{3}$.Non capisco il resto della parte è come segue.
permettere $a=\frac{1}{b}$ se le 2 curve intersecano in P1 e P2 ma in P1 la tangente alla prima curva è perpendicolare a y = x quindi è tangente alla seconda curva in P1.
pendenza tangente =$2ax+a$ Come (a, x) soddisfa questo
$2ax+a=-1$ e risolvendo con $x=ax^2+ax+\frac{1}{24}$
$a=\frac{-13+\sqrt{601}}{12}=\frac{1}{b}$
ho scritto la risposta come data. Sembra abbastanza assurdo.
Risposte
Le parabole sono circa la linea $y=x$ (sono l'immagine speculare l'una dell'altra sulla linea $y=x$). Quindi anche le loro tangenti comuni saranno simmetriche$y=x$. Si presentano due possibilità:
Caso 1: $x=y$ è una tangente comune:
Se devono avere una tangente comune allora mettendo $y=x$ in uno di loro dà $$x^2+(1-b)x+b/24=0$$, questo quadratico deve avere una sola radice reale, quindi la condizione $B^2=4AC$ deve essere soddisfatto: $$(1-b)^2=\frac{b}{6} \implies 6b^2-12b+6=0 \implies b=\frac{13\pm 5}{12} \implies b=\frac{3}{2},\frac{2}{3}.$$ Solo quando $b=3/2, 2/3$ $y=x$ è la tangente comune.
Caso 2: quando $x+y=-k$ è la tangente comune (più generale)
Quindi mettiamo $y=-k-x$ nella prima parabola per arrivare $$x^2-(1+b)x+bk+b/24=0$$ Per tangenza chiediamo $B=4AC$, noi abbiamo $$(1+b)^2=4bk+b/24 \implies k=\frac{(1+b)^2}{4b}-\frac{1}{24}~~~~(*)$$ Pertanto per qualsiasi valore reale di $b$ $x+y=-k$, sarà una tangente comune a queste parabole $k$ viene da $(*)$.
Caso 3: due tangenti comuni
È interessante notare che $b=3/2,2/3$ dà $k=1.$ Così $x+y=1$ e $y=x$ sono due tangenti comuni alle due parabole date.
Vedere le figure seguenti per $b=4$ (una tangente comune, $x+y=73/48.$) e per $b=3/2$ (due tangenti comuni $y=x, x+y=1$).
Considera la linea retta dell'equazione
$$x+y=c.$$
Lo intersechiamo con la parabola
$$by=x^2+x+\frac b{24}$$ ed eliminando $y$otteniamo un'equazione quadratica. Il discriminante è
$$(b+1)^2-\frac b6+4bc$$
e cancella (doppia radice) quando
$$c=\frac1{24}-\frac{(b+1)^2}{4b}.$$
Ciò corrisponde a una tangente alla prima parabola, e per scambio di $x,y$, è anche tangente al secondo. Quindi c'è una tangente comune per tutti$b\ne0$.
Fi, con $b=4$,
