Condizioni necessarie (e sufficienti) affinché il seguente prodotto di matrice sia definito positivo simmetrico?

Aug 16 2020

Risolvi alcuni $n\times n$ matrice simmetrica definita positiva $A$. Considera il seguente prodotto matrice,

$$B = AC$$

dove $C$ è un arbitrario $n\times n$matrice. Dato$A$, Vorrei sapere se sono note condizioni necessarie e sufficienti su tutte le matrici quadrate $C$ tale che la matrice risultante $B$è definito positivo anche simmetrico? Sono più interessato a conoscere (se possibile) le condizioni necessarie.

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Mi occupo solo delle matrici reali.

Risposte

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

Se $C$ è una matrice reale definita positiva che commuta con $A$ poi $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$che è definito positivo. Quindi questa è certamente una condizione sufficiente.

Tuttavia, è tutt'altro che necessario. Considera che$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Non sono convinto che ci sarà una bella condizione che lo descriva completamente $C$.

Una condizione necessaria è quella $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Se in aggiunta $C$ è simmetrico, quindi commuta con $A$ e poi $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ il che implica quello $C$ è definito positivo da allora $A^{-1}$ è anche positivo.

Difficilmente una risposta completa, ma per ora è tutto quello che ho.