Confusione notazionale relativa all'esercizio da manuale ("Differential Geometry" di Loring Tu)

Aug 19 2020

Nota: per favore non risolvere l'esercizio per me, mi piacerebbe molto farlo da solo.
Quello che segue è l'esercizio 27.5 da "Differential Geometry" di Loring Tu.

Permettere$\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$dato da$\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$essere una banalizzazione di$\pi^{-1}U_{g\color{red}{a}}$in un pacchetto principale$P$. Permettere$A\in\mathfrak{g}$e$\bar{A}$il campo vettoriale fondamentale su$P$che induce. Prova che$dg_\alpha(\bar{A}_p)=dl_{g_\alpha(p)}(A)$.

Ho diverse domande su questo esercizio. In primo luogo, il$a$in rosso è presumibilmente un errore di battitura, perché$a$non è menzionato da nessun'altra parte. Immagino che questo dovrebbe essere$\alpha$, ma allora qual è il$g$fare lì? La mia seconda domanda riguarda il differenziale stesso. Non mi è chiaro da dove vada questa mappatura. Penso che lo spazio di destinazione sia$T_{g_\alpha(p)}G$, ma allora da dove viene mappato?

Risposte

PaulFrost Aug 20 2020 at 17:45

Questa soluzione wiki della comunità ha lo scopo di eliminare la domanda dalla coda senza risposta.

Domanda 1: Lo è$\pi^{-1}U_\alpha$. Vedi il commento di Ted Shifrin.

Domanda 2: Hai$\phi_\alpha:\pi^{-1}U_\alpha\to U_\alpha\times G$dato da$\phi_\alpha(p)=(\pi(p),g_\alpha(p))$. così$g_\alpha : \pi^{-1}U_\alpha\to G$e$d_pg_\alpha : T_p \pi^{-1}U_\alpha \to T_{g_\alpha(p)}G$. Vedi il commento di A. Bellmunt.