Confusione sugli ordinali di Neumann e sui power set

Question

Mentre osservavo gli ordinali di von Neumann e la loro costruzione, mi sono un po 'confuso sul significato dei power set in questo contesto.

Questi sono i primi: ordinali di Neumann

Quello che non capisco è che un power set è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme, giusto? Considera V3. È l'insieme contenente tutti i sottoinsiemi di V2 {{}, {{}}} (denoto l'insieme vuoto con {}). Un sottoinsieme è {}, ovviamente. Questo è contenuto nella V3. Un altro è {{}}. Anche questo è contenuto. Un altro è il set V2 stesso, anche questo è contenuto.

Fin qui tutto bene. Ma mi sembra che anche {{{}}} dovrebbe essere un sottoinsieme. La definizione di un sottoinsieme è che ogni elemento del sottoinsieme è incluso anche nell'insieme originale. L'unico elemento contenuto nel suddetto sottoinsieme è {{}}, l'insieme contenente l'insieme vuoto. Quel set è contenuto anche in V2. Allora perché non è incluso nella V3?

Answer 1

Bene, risulta che ho confuso la gerarchia degli insiemi di von Neumann con gli ordinali di von Neumann. Il libro che stavo leggendo includeva solo la prima coppia e ho cercato online per confermare quello che pensavo sarebbe stato il resto, ma ho cercato erroneamente gli ordinali di von Neumann invece di quello che stavo effettivamente cercando, da qui la confusione.