Confusione sulla definizione dei punti di accumulo
Ho cercato di imparare un po 'sui limiti delle sequenze e dei punti di accumulo per avere una migliore intuizione dietro il funzionamento del calcolo e mi sono confuso sulle definizioni di limiti, punti limite e punti di accumulo di sequenze e insiemi.
La mia prima domanda è un limite di una sequenza uguale al punto di accumulo ed è che lo stesso del punto limite che ho guardato online ed è tutto molto vago. La mia seconda confusione è che il limite di una sequenza è uguale al limite di un insieme se non c'è qualche prova o spiegazione intuitiva sul perché no ?.
So che questo è probabilmente un concetto molto semplice e probabilmente banale per tutti voi qui, ma mi ha confuso molto. Grazie in anticipo
Risposte
Un punto limite è la stessa cosa di un punto di accumulo e la sua definizione è che:
Un punto $x$ è un punto limite di un insieme $A$ se per ogni quartiere $S$ di $x$ lì esiste $y \in S$ tale che $y \in A$, $y \neq x$.
Preferisco fortemente il nome "punto di accumulo", perché in realtà non stai prendendo limiti qui ... è il contrario! Per poter fare i limiti normalmente si richiedono punti di accumulazione, poiché la definizione topologica di un limite richiede di prendere intorno e calcolare la funzione lì.
Sulla tua seconda domanda:
Un punto $x$è un punto di accumulo per una sequenza $\{x_n\}$ se qualsiasi quartiere $S$ di $x$ è tale che ci sono infiniti indici $n$ tale che $x_n \in S$.
È essenzialmente la stessa definizione di sopra, ma tu prendi $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Tuttavia, un punto è un punto limite per una sequenza se tutti gli indici dopo un certo$n$sono in qualsiasi quartiere. Formalmente:
Un punto $x$ è il limite di una sequenza $\{x_n\}$ se qualsiasi quartiere $S$ di $x$ è tale che esiste $N \in \mathbb{N}$ tale che $x_n \in S$ per tutti $n>N$.
E questo è più forte del semplice essere un punto di accumulo: puoi vedere la differenza considerando la sequenza $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Qualsiasi quartiere di$1$ contiene infiniti punti di questa sequenza, vale a dire tutti i $x_{2n}$ dopo un certo $n$. Allo stesso modo, qualsiasi quartiere di$-1$ conterrà tutti i file $x_{2n+1}$ dopo un certo $n$, quindi entrambi $1$ e $-1$ sono punti cluster per $x_n$. Tuttavia, non ci sono limiti (in effetti i limiti sono unici, se esistono).
C'è una differenza tra limite e punto limite. Il concetto è definito per le sequenze e le funzioni, ma il punto limite è definito per gli insiemi, come menzionato nella risposta precedente. Una sequenza può avere un punto limite ma nessun limite. Ad esempio let$\{a_n\}$ è definito come $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Quella $a_n=1+\frac{1}{n} $ per n dispari e $a_n=-1+\frac{1}{n} $per i pari. In questa sequenza entrambi$1$ e $-1$ sono punto limite ma la sequenza non è convergente e non c'è limite.