Confuso sul prodotto tensoriale dei moduli R.

Question

Nel libro di Tu sulla geometria differenziale egli definisce per primo $Free(V\times W)$ come:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ dove la somma è finita.

Per come la vedo io, la costruzione di cui sopra è di combinazioni formali e dimentica la struttura effettiva dei moduli. In altre parole, se$v_1+v_2 = v_3$, non è vero che in $Free(V\times W)$ quello $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Ora per formare il prodotto tensore abbiamo quoziente dal sottomodulo, $S$ formato da elementi del modulo: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Quindi abbiamo una mappa dal prodotto al prodotto tensore, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

Tuttavia, se $v_3 = v_1 + v_2$, quindi non posso mostrarlo $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ quale dovrebbe essere il caso se $\otimes$è una mappa bilineare dell'omomorfismo del modulo .

Answer 1

Da $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ e $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ è definito da $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ la condizione $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ ce lo dice $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ che è lo stesso di $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Osserva anche che le altre relazioni che definiscono$S$ ci da \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}

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Ricorda che se $M$ è un $R$-modulo e $S$ è un sottomodulo di $M$, il quoziente $M/S$ è definito da $M/\!\sim$, dove $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ In questo caso, la classe di equivalenza di $m \in M$ è dato da $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (quindi $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$) e definiamo un file $R$-struttura del modulo in $M/S$ di $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Answer 2

Quindi per i posteri, voglio scrivere una risposta per altri che potrebbero avere la stessa confusione. Come chiarito da @KCd, elementi di$Free(V\times W)$ sono della forma,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Tuttavia, se scriviamo un particolare elemento di $Free(V\times W)$ come $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ e $v_3 = v_1 + v_2$ poi $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ In altre parole, all'interno delle nostre parentesi nella nostra notazione non stiamo prendendo somme formali, ma piuttosto combinando elementi del modulo come faremmo normalmente.