Coordinate normali complesse nelle varietà di Kähler

Question

Permettere $(M, g, J, \omega)$essere una varietà Kähler. Questo è,$(M, J)$ è una varietà complessa, $g$ è una metrica hermitiana su $M$ e $$\omega (X, Y) = g(JX, Y)$$ è una forma a due chiusi.

Come varietà Riemanniana $(M, g)$, per ciascuno $x\in M$, si possono trovare coordinate geodetiche normali attorno a ciascuna $x$. Nel caso della metrica Kähler, in realtà si hanno di più:

Proposizione: (Coordinate normali complesse su varietà di Kähler) Per ciascuna$x\in M$, ci sono coordinate olomorfe locali intorno $x$ in modo che la metrica $g = g_{i\bar j}$ soddisfa $$g_{i\bar j}(x) = \delta_{ij}, \ \ d g_{i\bar j} (x) = 0, \ \ \ \frac{\partial^2 g_{i\bar j}}{\partial z_k \partial z_l} (x) = 0.$$

Mentre le prime due condizioni sono simili a quelle che abbiamo per le coordinate geodetiche normali nella geometria Riemanniana, non esiste un analogo corrispondente per l'ultima condizione. Inoltre, anche in una varietà di Kähler, le coordinate normali geodetiche potrebbero non essere olomorfe.

Sto cercando una prova di questa proposta.

Answer 1

Il risultato è locale, possiamo supporlo $p =0 \in U$, dove $U \subset \mathbb C^n$è un insieme aperto. Da una complessa trasformazione lineare, possiamo anche supporre$h_{i\bar j}(0) = \delta_{ij}$. Considera la mappatura olomorfa$\phi : B_\epsilon \to U$, fornito da $$z_i=\phi (w)_i = w_i + A^i_{mn} w_mw_n + B^i_{pqr} w_pw_qw_r,$$

Qui $A^i_{mn}, B^i_{pqr}$sono costanti da scegliere e indici ripetuti significa somma. Lo assumiamo anche$A^i_{mn}, B^i_{pqr}$sono completamente simmetriche rispetto agli indici inferiori. Da$d\phi_0 = Id$, $\phi$è un biolomorfismo sulla sua immagine (limitandosi a insiemi più piccoli quando necessario). Permettere$g = \phi^* h$essere la metrica di pullback. Quindi utilizzando le nuove coordinate$(w_1, \cdots, w_n)$,

\begin{align}\tag{1} g_{\alpha \bar \beta} &= \frac{\partial z_i}{\partial w^\alpha}\overline{\frac{\partial z_j}{\partial w^\beta}}h_{i\bar j} \end{align} e $$\tag{2} \frac{\partial z_i}{\partial w_\alpha} = \delta_{i\alpha} + 2A^i_{\alpha m} w_m + 3B^i_{\alpha pq } w_pw_q$$ Poi abbiamo \begin{align}g_{\alpha\bar\beta} &= h_{\alpha\bar\beta} +2A^i_{\alpha m} h_{i\bar\beta}w_n + 2\overline{A^j_{\beta n}} h_{\alpha \bar j} \bar w_n \\ &\ \ \ + 3B^i_{\alpha pq } w_pw_q h_{i\bar\beta} + 3\overline{B^j_{\beta rs} } \bar w_r \bar w_s h_{\alpha \bar j} + 4 A^i_{\alpha m} \overline{A^j_{\beta n} } h_{i\bar j}w_m \bar w_n\\ &\ \ \ + O(|w|^3). \end{align} Da qui è ovvio che $g_{\alpha\bar\beta}(0) = \delta_{\alpha\beta}$. Inoltre, abbiamo\begin{align} \partial_\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 2A^\beta_{\alpha\gamma}, \\ \bar\partial_\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \bar\partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 2\overline{A^\alpha_{\beta\gamma}}, \\ \partial_\eta \partial _\gamma g_{\alpha\bar\beta} (0) &= \partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) + 6B^\beta_{\alpha\gamma\eta}. \end{align}

Adesso scegliamo $A^\beta_{\alpha\gamma} = -\frac 12 \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta}$. Prima di tutto,$A$ così scelto è davvero simmetrico nell'indice inferiore, poiché $$\tag{3}\partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} =\partial_\alpha h_{\gamma \bar\beta}$$ quando $h$è una metrica Kähler (vedi qui ). Avanti, da allora$h$ è Hermitiano, $$\bar \partial_\gamma h_{\alpha\bar\beta} (0) = \overline{\partial_\gamma \overline{h_{\alpha\bar\beta}(0)}} = \overline{\partial_\gamma h_{\beta\bar\alpha}(0)} = -\frac{1}{2} \overline{A^\alpha_{\beta\gamma}}, $$ dove nell'ultima uguaglianza abbiamo usato la definizione di $A$. Così abbiamo$dg_{i\bar j}(0) = 0$.

Infine, scegliamo $B^\beta_{\alpha\gamma\delta} = - \partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\eta} (0)$. Di nuovo da (3),$\partial_\eta \partial _\gamma h_{\alpha\bar\eta}$ è simmetrico in $\alpha, \gamma, \eta$. Così$B$ è di nuovo ben definito, e questo conclude la dimostrazione.

In questo libro , affermano la seguente proposizione:

Proposizione 1.6 : (Coordinate normali nel caso di Kähler) Let$M$essere una varietà Kähler con una metrica analitica Kähler reale. Dato$x\in M$, esistono coordinate complesse locali $(z_1, \cdots, z_n)$ trasformazioni lineari unitarie modulo univoche tale che $g_{i\bar j}(x) = \delta_{ij}$, $dg_{i\bar j}(x)= 0$ e $$ \frac{\partial ^l g_{i\bar j}}{\partial z_{i_1} \cdots \partial z_{i_k}} (x) = 0$$ per tutti $l\ge 0$ e $i_1 + \cdots + i_k = l$, e questo vale anche per il suo coniugato.

Suggeriscono anche un riferimento, p.286 , sostenendo che c'è una prova elegante.