Correzione del secondo ordine a$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}}$?

Question

Sfondo

Recentemente mi sono chiesto quanto segue dove$\epsilon > 0$e$b > 0$

$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} = ?$$

Dopo un po' di tentativi sono stato in grado di mostrare:

$$ {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/(-b\ln \epsilon)}} \sim - \ln(\epsilon) \times \int_0^{b} e^{-1/|x|} dx$$

Domanda

Il mio giocherellare è corretto? Sospetto che ci sia un$(\ln \epsilon)^2$anche il termine ma non riesco a trovarlo. Qualsiasi aiuto?

Il mio giocherellare

Ritenere:

$$ f(x) = e^{-1/x} $$

Adesso,

$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\delta \to 0} \sum_{n=1}^{N} f(n \delta) \delta $$

insieme a$N = \frac{b}{\delta}$e$\delta> 0$. Sostituiamo$\delta =\frac{-1}{\ln(\epsilon)}$

$$ \int_0^b f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} f\left(\frac{-1}{\ln ( \epsilon^{1/n})} \right) \frac{-1}{\ln \epsilon} $$

insieme a$N=-b \ln(\epsilon)$. Sostituzione$f(x)$:

$$\int_0^b e^{-1/x} = \lim_{\epsilon \to 0} \sum_{n=1}^{N} \epsilon^{1/n} \frac{1}{\ln \epsilon} $$

Usando gli asintotici:

$$ - \ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} \sim {\epsilon} +{\epsilon^{1/2}}+{\epsilon^{1/3}}+\dots+{\epsilon^{1/N}} $$

Answer 1

La tua approssimazione va (ora) bene. La correzione di ordine successivo dovrebbe tener conto della correzione di continuità nell'integrale.

Si noti innanzitutto che, utilizzando la regola del trapezio , l'ultimo termine della somma deve essere diviso per due. (Il primo termine non ha importanza, perché la funzione inizia da zero).

Ma nota anche che, assumendo$\epsilon, b$sono dati,$-b \ln \epsilon$non è un numero intero in generale. Quindi, l'ultimo indice della somma è effettivamente dato da un arrotondamento all'intero più vicino$ N = \lfloor N' \rceil = \lfloor -b \ln \epsilon\rceil$.

Permettere$d = N - N'$, insieme a$-\frac12 \le d \le \frac12$.

Quindi l'integrale è meglio approssimato da

$$ \int_0^b e^{-1/x} dx \approx \frac{-1}{\ln \epsilon} \left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right)- \frac{-1}{\ln \epsilon} \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag2$$

O

$$\left( \epsilon + \epsilon^{1/2} + \epsilon^{1/N}\right) \approx -\ln \epsilon \int_0^b e^{-1/x} dx - \epsilon^{1/N}(d+1/2) \tag 2$$

Il grafico confronta l'approssimazione in$(2)$per$b=5$(linea gialla l'approssimazione di ordine zero; la linea rossa, quella corretta, è indistinguibile dal valore integrale esatto:$2.87100322120604$). L'ascissa corrisponde a$1/\epsilon$; in quell'intervallo di valori che otteniamo$N=37,38,39$.